완전 함자

호몰로지 대수학에서 완전 함자(完全函子, 영어: exact functor)는 두 아벨 범주 사이의, 짧은 완전열을 보존하는 함자이다.

정의

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$에서 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$로 가는 가법 함자(영어: additive functor)는 다음 성질을 만족시키는 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$이다.

• (가법성) 모든 대상 ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, ${\displaystyle F|_{\hom(A,B)}\colon \hom(A,B)\to \hom(F(A),F(B))}$는 아벨 군의 군 준동형이다.

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 사이의 완전 함자는 다음 성질을 만족시키는 가법 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$이다.

• (완전열의 보존) ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 임의의 짧은 완전열 ${\displaystyle 0\to A\to B\to \mathbb {C} \to 0}$에 대하여, ${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0}$는 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 속의 짧은 완전열을 이룬다.

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 사이의 가법 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 왼쪽 완전 함자(영어: left-exact functor)라고 한다.

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 임의의 짧은 완전열 ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$에 대하여, ${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)}$는 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 속의 완전열을 이룬다.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 임의의 완전열 ${\displaystyle 0\to A\to B\to C}$에 대하여, ${\displaystyle 0\to F(A)\to F(B)\to F(C)}$는 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 속의 완전열을 이룬다.

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$와 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 사이의 가법 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 오른쪽 완전 함자(영어: right-exact functor)라고 한다.

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 임의의 짧은 완전열 ${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$에 대하여, ${\displaystyle F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0}$는 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 속의 완전열을 이룬다.
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 속의 임의의 완전열 ${\displaystyle A\to B\to C\to 0}$에 대하여, ${\displaystyle F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0}$는 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ 속의 완전열을 이룬다.

예

아벨 범주의 동치는 항상 완전 함자이다.

아벨 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 사영 대상 ${\displaystyle P\in {\mathcal {C}}}$가 주어지면,

${\displaystyle \hom(P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Ab} }$

는 완전 함자이다. 마찬가지로, 단사 대상 ${\displaystyle I\in {\mathcal {C}}}$가 주어지면,

${\displaystyle \hom(-,I)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Ab} ^{\operatorname {op} }}$

는 완전 함자이다.

체 ${\displaystyle K}$에 대한 벡터 공간들의 범주 ${\displaystyle K-\operatorname {Vect} }$의 경우, 쌍대 공간

${\displaystyle V^{*}=\hom(V,K)}$

은 완전 함자

${\displaystyle \hom(-,K)\colon K-\operatorname {Vect} \to K-\operatorname {Vect} ^{\operatorname {op} }}$

를 정의한다.

외부 링크

• “Exact functor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Exact functor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Exact functor”. 《nLab》 (영어).
• “Additive functor”. 《nLab》 (영어).