모노이드 범주

가 주어졌다고 하자.
위의 풍성한 범주(영어: category enriched over
)
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 모임
. 이 모임의 원소를
의 대상(영어: object)이라고 한다.
- 임의의
에 대하여,
.
- 임의의
에 대하여,
-사상
. 이는 항등 사상을 나타낸다.
- 임의의
에 대하여,
-사상
. 이는 사상의 합성을 나타낸다.
이 데이터는 다음 세 그림을 가환하게 만들어야만 한다.
- (사상 합성의 결합 법칙)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\left(\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\right)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ _{YZW}\otimes \operatorname {id} }}&\hom _{\mathcal {C}}(Y,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ _{XYW}}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,W)\\\downarrow \scriptstyle \alpha &&&&\downarrow \scriptstyle \operatorname {id} \\\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \left(\hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)\right)&{\xrightarrow[{\operatorname {id} \otimes \circ _{XYZ}}]{}}&\hom _{\mathcal {C}}(Z,W)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Z)&{\xrightarrow[{\circ _{XZW}}]{}}&\hom _{\mathcal {C}}(X,W)\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d914b20763a206ec4ce0039c30ea0b993ae42899)
- (사상 합성의 왼쪽 항등원)

- (사상 합성의 오른쪽 항등원)

모노이드 범주
이 주어졌을 때, 작은(=대상 모임이 집합인)
-풍성한 범주,
-풍성한 함자,
-풍성한 자연 변환은 2-범주
를 이룬다.
대칭 모노이드 범주
이 주어졌을 때,
는 풍성한 범주의 텐서곱에 대하여 대칭 모노이드 2-범주를 이룬다.
풍성한 함자
모노이드 범주
위의 두 풍성한 범주
,
사이의
-풍성한 함자(영어:
-enriched functor)
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 각 대상
에 대하여, 대상 
- 두 대상
에 대하여,
속의 사상 
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
- (항등원의 보존) 임의의 대상
에 대하여 다음 그림이 가환한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}I\\{\scriptstyle \operatorname {id} _{X}}\downarrow &\searrow {\scriptstyle \operatorname {id} _{F(X)}}\\\hom _{\mathcal {C}}(X,X)&{\xrightarrow[{F_{XX}}]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(X))\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/575c8079effb1651d0ac904242bee42658f33e79)
- (사상 합성의 보존) 임의의 대상
에 대하여 다음 그림이 가환한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\hom _{\mathcal {C}}(Y,Z)\otimes \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&{\xrightarrow {\circ }}&\hom _{\mathcal {C}}(X,Z)\\{\scriptstyle F_{YZ}\otimes F_{XY}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle F_{XZ}\\\hom _{\mathcal {D}}(F(Y),F(Z))\otimes \hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))&{\xrightarrow[{\circ }]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Z))\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a37a0a6019095a384c0c68dc0438f9b5a50c0ec7)
풍성한 자연 변환
모노이드 범주
위의 두 풍성한 범주
,
사이의 두
-풍성한 함자
사이의
-풍성한 자연 변환(영어:
-enriched natural transformation)
은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
- 각 대상
에 대하여,
속의 사상 
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- (풍성한 함자 구조의 보존) 임의의 대상
에 대하여 다음 그림이 가환한다.

만약
이 국소적으로 작은 닫힌 대칭 모노이드 범주일 때,
은 스스로
-풍성한 범주를 이루며, 표현 가능
-풍성한 함자


가 존재한다. 이 경우,
-풍성한 자연 변환 조건은 다음과 같이 쓸 수 있다.
- (풍성한 함자 구조의 보존) 임의의 대상
에 대하여 다음 그림이 가환한다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)&\xrightarrow {F} &\hom _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))\\{\scriptstyle G}\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle \hom _{\mathcal {D}}(\operatorname {id} ,\eta _{Y})}\\\hom _{\mathcal {D}}(G(X),G(Y))&{\xrightarrow[{\hom _{\mathcal {D}}(\eta _{X},\operatorname {id} )}]{}}&\hom _{\mathcal {D}}(F(X),G(Y))\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743a0432712afb9be1644b6903243823b1b34448)