요네다 보조정리

범주론에서 요네다 보조정리([米田]補助定理, 영어: Yoneda lemma)는 특정한 범주를 집합 값의 함자 범주에 묻는 함자를 만들 수 있게 하는 보조정리다. 군론의 케일리의 정리를 크게 일반화한 것이다. 대수기하학과 표현론에서 중요하게 쓰인다.

보조정리

${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 국소적으로 작은 범주(임의의 두 대상 사이의 사상들의 모임이 항상 집합인 범주)라고 하자. 각 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$에 대해, 다음과 같은 함자가 존재한다 (${\displaystyle \operatorname {Set} }$는 집합의 범주).

${\displaystyle \hom(A,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle \hom(A,-)\colon B\mapsto \hom(A,B)}$

이 함자에서, 사상 ${\displaystyle f\colon B\to C}$의 상은 다음과 같다.

${\displaystyle \hom(A,f)\colon \hom(A,B)\to \hom(A,C)}$

${\displaystyle \hom(A,f)\colon g\mapsto f\circ g}$

마찬가지로, 다음과 같은 함자가 존재한다 (${\displaystyle ^{\operatorname {op} }}$는 반대 범주).

${\displaystyle \hom(-,A)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle \hom(-,A)\colon B\mapsto \hom(B,A)}$

${\displaystyle \hom(f,A)\colon \hom(C,A)\to \hom(B,A)\qquad (f\colon B\to C)}$

${\displaystyle \hom(f,A)\colon g\mapsto g\circ f}$

그리고 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }$가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 따르면, 모든 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)\cong F(A)}$

이 때,

• ${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)}$은 모든 자연 변환 ${\displaystyle \Phi \colon \hom(A,-)\Rightarrow F}$들의 집합이다.
• ${\displaystyle F(A)\in \operatorname {Set} }$는 ${\displaystyle A}$의 상이다.

위의 일대일 대응은 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi \mapsto \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)}$

이를 표준적으로 만드는 두 함자는 다음과 같다 (${\displaystyle \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}}$는 함자 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }$와 자연 변환의 범주).^[1]:61

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)}$

${\displaystyle -(-)\colon {\mathcal {C}}\times \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle -(-)\colon (A,F)\mapsto F(A)}$

즉, 위 일대일 대응들은 이 두 함자 사이의 자연 동형을 이룬다. 첫 번째 함자에서, 사상 ${\displaystyle (f\colon A\to B,\Phi \colon F\Rightarrow G)}$의 상은 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )\colon \operatorname {Nat} (\hom(A,-),F)\to \operatorname {Nat} (\hom(B,-),G)}$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(f,-),F)=\operatorname {Nat} (\hom(f,-),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(A,-),\Phi )}$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(f,-),\Phi )\colon \Psi \mapsto \Phi \circ \Psi \circ \hom(f,-)}$

두 번째 함자에서, 사상 ${\displaystyle (f\colon A\to B,\Phi \colon F\Rightarrow G)}$의 상은 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi _{f}\colon F(A)\to G(B)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)}$

${\displaystyle \Phi _{f}=\Phi _{B}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{A}}$

마찬가지로, 모든 함자 ${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }$ 및 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$에 대하여, 다음 두 집합이 표준적으로 일대일 대응한다.

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)\cong F(A)}$

이 때

• ${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)}$는 자연 변환 ${\displaystyle \Phi \colon \hom(-,A)\Rightarrow F}$들의 집합이다.
• ${\displaystyle F(A)}$는 ${\displaystyle A}$의 상이다.

이 일대일 대응

${\displaystyle \Phi \mapsto \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)}$

들은 함자

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}\to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,-),-)'\colon (A,F)\mapsto \operatorname {Nat} (\hom(-,A),F)}$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )\colon \operatorname {Nat} (\hom(-,B),F)\to \operatorname {Nat} (\hom(-,A),G)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)}$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )=\operatorname {Nat} (\hom(-,A),\Phi )\circ \operatorname {Nat} (\hom(-,f),F)=\operatorname {Nat} (\hom(-,f),G)\circ \operatorname {Nat} (\hom(B,-),\Phi )}$

${\displaystyle \operatorname {Nat} (\hom(-,f),\Phi )\colon \Psi \mapsto \Phi \circ \Psi \circ \hom(-,f)}$

와

${\displaystyle -(-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\times \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}\to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle -(-)'\colon (A,F)\mapsto F(A)}$

${\displaystyle \Phi _{f}\colon F(B)\to G(A)\qquad (f\colon A\to B,\;\Phi \colon F\Rightarrow G)}$

${\displaystyle \Phi _{f}=\Phi _{A}\circ F(f)=G(f)\circ \Phi _{B}}$

사이의 자연 동형을 이룬다.

증명

쌍대성에 따라, 함자 ${\displaystyle F}$가 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} }$인 경우를 증명하면 충분하다. (${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }$의 경우, ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$를 그 반대 범주로 대체한다.)

임의의 자연 변환 ${\displaystyle \Phi \colon \hom(A,-)\Rightarrow F}$에 대해 ${\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})}$를 생각할 수 있다. ${\displaystyle \Phi _{A}}$는 ${\displaystyle A\to A}$ 함자를 ${\displaystyle F(A)}$의 원소로 옮겨야 하고, ${\displaystyle \operatorname {id} _{A}\colon A\to A}$이므로, ${\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})\in F(A)}$임을 알 수 있다.

이제, 모든 ${\displaystyle u\in F(A)}$에 대해 ${\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})=u}$인 유일한 자연 변환 ${\displaystyle \Phi }$를 대응할 수 있다는 것만 증명하면 된다. 이는 다음과 같은 가환 그림과 그림 쫓기(영어: diagram chasing)를 사용하여 증명할 수 있다.

자연 변환

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u}$

은 자명하게 ${\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})=u}$를 만족한다. 반대로, 자연 변환의 정의에 따라 위 가환이 성립하므로, ${\displaystyle \Phi _{A}(\operatorname {id} _{A})=u}$를 만족하는 자연 변환은 위 자연 변환밖에 없다. 다시 말해, ${\displaystyle u\in F(A)}$의 선택에 따라 자연 변환이 결정되므로 증명이 완성된다.

요네다 매장

국소적으로 작은 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$가 주어졌다고 하자. 요네다 보조정리에 대상 ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$와 함자 ${\displaystyle F=\hom(-,B)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }$를 대입하면 다음 전단사 함수를 얻는다.

${\displaystyle \hom(A,B)\cong \operatorname {Nat} (\hom(-,A),\hom(-,B))}$

${\displaystyle f\mapsto \hom(-,f)}$

사실, 이는 함자 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}}$로 가는 함자

${\displaystyle \hom(-,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}}$

${\displaystyle \hom(-,-)\colon A\mapsto \hom(-,A)}$

${\displaystyle \hom(-,-)\colon f\mapsto \hom(-,f)}$

를 임의의 사상 집합으로 제한한 것이다. 따라서, 이 함자는 충실충만한 함자이다. 다시 말해, 이 함자는 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$를 그 성질 그대로 ${\displaystyle \operatorname {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }}}$ 안에 옮겨놓는 역할을 한다. 이 함자를 요네다 매장([米田]埋藏, 영어: Yoneda embedding)이라고 부른다.

마찬가지로, 요네다 보조정리에 따라, 함수

${\displaystyle \hom(A,B)\cong \operatorname {Nat} (\hom(B,-),\hom(A,-))}$

${\displaystyle f\mapsto \hom(f,-)}$

는 전단사 함수이며, 다음과 같은 충실충만한 함자가 존재한다.

${\displaystyle \hom(-,-)'\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \hom(-,-)'\colon A\mapsto \hom(A,-)}$

${\displaystyle \hom(-,-)'\colon f\mapsto \hom(f,-)}$

역사

일본의 수학자 요네다 노부오가 1954년에 발표하였다.^[2]