케일리의 정리

군론에서 케일리의 정리(Cayley's theorem)는 모든 군이 대칭군의 부분군과 동형이라는 정리이다.^[1] 아서 케일리의 이름을 땄다. 케일리의 정리는 주어진 군과 동형인 순열군을 직접 구성함으로써 증명할 수 있는데, 이를 정칙표현(正則表現)이라고 한다.

집합 ${\displaystyle G}$ 위의 순열이란 ${\displaystyle G}$에서 ${\displaystyle G}$로 가는 전단사이다. ${\displaystyle G}$ 위의 모든 순열은 함수의 합성을 연산으로 하는 군을 이루고, 이 군을 ${\displaystyle G}$ 위의 대칭군이라 하며 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$라 쓴다.^[2] 케일리의 정리는 모든 군이 대칭군의 부분군인 순열군과 같은 구조임을 알려준다. 따라서 순열군에 관한 정리들은 모든 군에 대해서 성립한다. 다만 알퍼린과 벨에 따르면 “유한군이 대칭군에 묻힐 수 있다는 사실은 대체로 유한군의 연구 방법에 영향을 끼치지 않았다”.^[3]

케일리의 정리의 표준적인 증명에서 사용하는 정칙표현은 ${\displaystyle G}$를 부분군으로 갖는 가장 작은 대칭군을 알려주지는 않는다. 예를 들어 ${\displaystyle S_{3}}$은 이미 위수 6의 대칭군이지만, 정칙표현으로 나타내면 위수 720의 대칭군인 ${\displaystyle S_{6}}$의 부분군으로 표현된다. 주어진 집합을 묻을 수 있는 가장 작은 대칭군을 찾는 것은 꽤 어려운 문제이다.^[4][5]

역사

케일리는 현대와 같은 군을 처음으로 정의한 사람이다. 그 전까지 군(group)은 오늘날의 순열군을 뜻하는 말이었다. 케일리의 정리는 두 개념이 동치임을 보여준다.

1911년에 윌리엄 번사이드는 케일리의 정리를 1870년에 카미유 조르당이 처음 발표했다고 했지만,^[6][7] 에릭 누멜라는 일반적으로 쓰이는 이름인 “케일리의 정리”라는 이름이 사실 더 알맞다고 본다.^[8] 케일리는 자신의 1854년 논문에서^[9] 군과 순열군 사이에 일대일 대응을 만들 수 있음을 보였지만, 그 대응이 군 준동형사상임을 명시적으로 증명하지는 않았다. 하지만 누멜라는 케일리가 조르당보다 16년 앞서 수학계에 이 결과를 알렸다고 지적한다.

이후 발터 뒤크가 1882년에 자기 책에 케일리의 정리를 실었고^[10] 번사이드의 책의 1897년 초판에서는 케일리의 정리를 증명한 사람이 뒤크라고 소개했다.^[11]

증명

군 ${\displaystyle (G,*)}$의 각 원소 ${\displaystyle g}$에 대해 함수 ${\displaystyle f_{g}:G\to G}$를 ${\displaystyle f_{g}(x)=g*x}$로 정의하자. 이 함수는 역함수 ${\displaystyle f_{g^{-1}}}$을 지니므로, ${\displaystyle G}$ 위의 순열이고, ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$의 원소이다.

그러면 ${\displaystyle K=\{f_{g}:g\in G\}}$는 ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$의 부분군으로서 ${\displaystyle G}$와 동형이다. 이를 보이는 가장 빠른 방법은 함수 ${\displaystyle T:G\to \operatorname {Sym} (G)}$를 ${\displaystyle T(g)=f_{g}}$로 정의하는 것이다. 그러면 모든 ${\displaystyle x\in G}$에 대해

${\displaystyle (f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h*x)=g*(h*x)=(g*h)*x=f_{g*h}(x)}$

이므로,

${\displaystyle T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g*h}=T(g*h)}$

가 되어, ${\displaystyle T}$가 군 준동형사상임을 알 수 있다.

또 준동형사상 ${\displaystyle T}$는 단사인데, 왜냐하면 만약 ${\displaystyle g*x=g'*x}$라면 소거법칙에 의해 ${\displaystyle g=g'}$여야 하기 때문이다. 따라서 ${\displaystyle G}$는 ${\displaystyle K}$와 동형이다.

정칙표현

위 증명에서 ${\displaystyle T}$를 ${\displaystyle G}$의 정칙표현이라고 부른다. 또 ${\displaystyle f_{g}(x)=g*x}$를 ${\displaystyle g}$의 왼쪽 정칙표현이라고 하는데, ${\displaystyle h_{g}(x)=x*g}$로 정의되는 오른쪽 정칙표현을 사용해도 상관없다.

${\displaystyle G}$의 항등원은 항등순열에 대응하고, 나머지 모든 원소는 교란순열에 대응한다. 이는 그 원소의 위수보다 낮은 지수의 거듭제곱인 원소도 마찬가지이므로, 각 원소는 똑같은 길이를 가진 순환치환들의 곱이다. 이때 순환치환의 길이는 그 원소의 위수와 같다. 각 순환치환의 원소들은 그 원소가 생성하는 부분군의 왼쪽 잉여류를 이룬다.

예를 들어 대칭군 ${\displaystyle S_{3}}$의 정칙표현은 다음과 같다.

*	e	a	b	c	d	f	순열 표현
e	e	a	b	c	d	f	e
a	a	e	d	f	b	c	(12)(35)(46)
b	b	f	e	d	c	a	(13)(26)(45)
c	c	d	f	e	a	b	(14)(25)(36)
d	d	c	a	b	f	e	(156)(243)
f	f	b	c	a	e	d	(165)(234)