워드-다카하시 항등식

양자장론에서 워드-다카하시 항등식(Ward–Takahashi identity)은 뇌터 정리를 일반화한 항등식이다.

역사

존 클라이브 워드(John Clive Ward)가 1950년에 특수한 형태를 발표하였다.^[1] 다카하시 야스시(高橋 康 (たかはし やすし))가 이를 일반화하였다.^[2]

정의

주어진 양자장론이 어떤 전역적(global) 대칭 ${\displaystyle \delta _{\epsilon }}$을 가진다고 하자. 즉,

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\left[D\phi \;\exp(iS[\phi ])\right]=0}$

이라고 하자. 여기서 ${\displaystyle D\phi }$는 경로 적분의 측도이고, ${\displaystyle \exp(iS)}$는 경로 적분의 볼츠만 인자이고, ${\displaystyle X}$는 주어진 연산자이다. 이제, ${\displaystyle \epsilon }$을 상수가 아니라 (무한소의) 함수 ${\displaystyle \epsilon (x)}$로 놓자. 그렇다면 ${\displaystyle D\phi \;\exp(iS)}$의 변분은 일반적으로 다음과 같은 꼴을 취한다.

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\left[D\phi \;\exp(iS[\phi ])\right]=D\phi '\;\exp(iS[\phi '])i\int J^{\mu }\partial _{\mu }\epsilon \;d^{D}x=-D\phi '\;\exp(iS[\phi '])i\int (\partial \cdot J)\epsilon \;d^{D}x}$.

뿐만 아니라, 임의의 연산자 ${\displaystyle X}$를 삽입하면 다음과 같다.

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\left[D\phi \;X[\phi ]\exp(iS[\phi ])\right]=-D\phi '\;X[\phi ']\exp(iS[\phi '])\int (\partial \cdot J)\epsilon \;d^{D}x+D\phi \;(\delta _{\epsilon }X)\exp(iS[\phi ])}$.

이제 다음과 같은 항등식을 유도할 수 있다.

${\displaystyle 0=\int X[\phi ']\exp(iS[\phi '])\;D\phi '-\int X[\phi ]\exp(iS[\phi ])\;D\phi }$

${\displaystyle =\int \delta _{\epsilon }\left[X[\phi ]\exp(iS[\phi ])\;D\phi \right]}$

${\displaystyle =\langle \delta _{\epsilon }X\rangle _{0}-i\int \langle (\partial \cdot J)X\rangle _{0}\epsilon \;d^{D}x}$.

여기서 ${\displaystyle \langle \cdots \rangle _{0}}$은 시간 순서 진공 기댓값이다. 이를 워드-다카하시 항등식이라고 한다.

워드-다카하시 항등식을 비가환 게이지 대칭에 대하여 일반화할 수 있다. 이를 슬라브노프-테일러 항등식(Slavnov–Taylor identity)이라고 한다.^[3][4][5]