웨어링 문제

수론에서, 웨어링 문제(영어: Waring’s problem)는 모든 양의 정수 ${\displaystyle k}$에 대하여, 모든 양의 정수 ${\displaystyle n}$이 ${\displaystyle s}$개 이하의 양의 ${\displaystyle k}$제곱수의 합인, (${\displaystyle k}$에 의존하지만 ${\displaystyle n}$에 의존하지 않는) 양의 정수 ${\displaystyle s}$를 찾을 수 있는지 묻는 문제이다. 예를 들어, 모든 양의 정수는 9개 이하의 양의 세제곱수의 합으로 나타낼 수 있으며, 19개 이하의 양의 네제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.

에드워드 웨어링이 1770년에 제기하였으며, 수많은 변형 문제를 낳았다. 다비트 힐베르트가 1909년에 원래 형태를 긍정적으로 해결하였다.

g(k)

임의의 양의 정수 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle g(k)}$가 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수라고 하자.

• 모든 양의 정수는 ${\displaystyle g(k)}$개 이하의 양의 ${\displaystyle k}$제곱수로 나타낼 수 있다.

이 함수는 완전히 묘사되었으며, 다음과 같다.

${\displaystyle g(k)={\begin{cases}2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2&2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor \leq 2^{k}\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -2&2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}\land \lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor =2^{k}\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -3&2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}\land \lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}\end{cases}}}$

작은 ${\displaystyle k}$의 값은 다음과 같다.

• ${\displaystyle g(1)=1}$
• (라그랑주 네 제곱수 정리) ${\displaystyle g(2)=4}$
• ${\displaystyle g(3)=9}$
• ${\displaystyle g(4)=19}$

G(k)

임의의 양의 정수 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle G(k)}$가 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수라고 하자.

• “충분히 큰” 양의 정수는 ${\displaystyle G(k)}$개 이하의 양의 ${\displaystyle k}$제곱수로 나타낼 수 있다. 즉, ${\displaystyle G(k)}$개 이하의 양의 ${\displaystyle k}$제곱수로 나타낼 수 없는 양의 정수의 수는 유한하다.

이 함수에 대해서 알려진 바는 비교적 적다. 정확한 값은 오직 다음 경우만이 알려져 있다.

• ${\displaystyle G(1)=1}$
• ${\displaystyle G(2)=4}$
• ${\displaystyle G(4)=16}$

작은 ${\displaystyle k}$의 상계는 다음과 같다.

• ${\displaystyle G(3)\leq 7}$
• ${\displaystyle G(5)\leq 17}$
• ${\displaystyle G(6)\leq 24}$
• ${\displaystyle G(7)\leq 33}$
• ${\displaystyle G(8)\leq 42}$
• ${\displaystyle G(9)\leq 50}$

현재 알려진 가장 좋은 점근적 상계는 아마도 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle G(k)\leq k(\ln k+\ln \ln k+2+O(\ln \ln k/\ln \ln \ln k))}$

G~(k)

임의의 양의 정수 ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle {\tilde {G}}(k)}$가 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수라고 하자.

• “거의 모든” 양의 정수는 ${\displaystyle {\tilde {G}}(k)}$개 이하의 양의 ${\displaystyle k}$제곱수로 나타낼 수 있다. 즉, ${\displaystyle {\tilde {G}}(k)}$개 이하의 양의 ${\displaystyle k}$제곱수로 나타낼 수 없는 양의 정수의 점근 밀도는 0이다.

자명하게 ${\displaystyle {\tilde {G}}(k)\leq G(k)\leq g(k)}$이다. ${\displaystyle {\tilde {G}}}$의 경우, 다음과 같은 값들이 알려져 있다.

• ${\displaystyle {\tilde {G}}(1)=1}$
• ${\displaystyle {\tilde {G}}(2)=4}$
• ${\displaystyle {\tilde {G}}(3)=4}$
• ${\displaystyle {\tilde {G}}(4)=15}$
• ${\displaystyle {\tilde {G}}(8)=32}$
• ${\displaystyle {\tilde {G}}(16)=64}$
• ${\displaystyle {\tilde {G}}(32)=128}$

같이 보기

• 페르마의 다각수 정리