체
를 계수로 하는 일계수 다항식
![{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots a_{\deg p-1}x^{\deg p-1}+x^{\deg p}\in K[x]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c36f49ad0e246aa46d5ef915f9c4ab0d88a9c0)

의 동반 행렬(同伴行列, 영어: companion matrix)은 다음과 같은
정사각 행렬이다.

유리 표준형
체
위의 임의의
정사각 행렬
에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 가역 행렬
및 유일한 일계수 다항식 집합
이 존재하며,
를
의 (불변 인자) 유리 표준형(영어: (invariant factors) rational canonical form)이라고 한다.



이는
으로 유도되는
-가군


의 불변 인자 분해
![{\displaystyle K^{n}\cong K[x]/(d_{1}(x))\oplus K[x]/(d_{2}(x))\oplus \cdots \oplus K[x]/(d_{k}(x))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc00bc0e267871a2112195bc2059defcb926071)
에서,
에 대응하는
-선형 변환
의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.
![{\displaystyle \left\{1+(d_{i}(x)),x+(d_{i}(x)),\dots ,x^{\deg d_{i}-1}+(d_{i}(x))\right\}\subset K[x]/(d_{i}(x))\qquad (i=1,2,\dots ,k)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e06db769cf31efef51f1a700e117a054a57c7f9)
으뜸 유리 표준형
체
위의 임의의
정사각 행렬
에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬
및 유일한 기약 일계수 다항식의 양의 거듭제곱의 중복집합
이 존재하며,
를
의 으뜸 유리 표준형(영어: primary rational canonical form) 또는 초등 인자 유리 표준형(영어: elementary divisors rational canonical form)이라고 한다.

이는
-가군


의 으뜸 분해
![{\displaystyle K^{n}\cong K[x]/(p_{1}^{e_{1}}(x))\oplus K[x]/(p_{2}^{e_{2}}(x))\oplus \cdots \oplus K[x]/(p_{l}^{e_{l}}(x))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51314064550bc40dc4324e0f1ab734bd2b27e105)
에서,
-선형 변환
의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.
![{\displaystyle \left\{1+(p_{i}^{e_{i}}(x)),x+(p_{i}^{e_{i}}(x)),\dots ,x^{\deg(p_{i}^{e_{i}})-1}+(p_{i}^{e_{i}}(x))\right\}\subset K[x]/(p_{i}^{e_{i}}(x))\qquad (i=1,2,\dots ,l)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/303c5e91b9e40056c4d3f93aa9f847f396fdfcac)