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유리 표준형

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선형대수학에서 유리 표준형(有理標準型, 영어: rational canonical form) 또는 프로베니우스 표준형(Frobenius標準型, 영어: Frobenius canonical form)은 임의의 를 성분으로 하는 정사각 행렬을 그와 닮은, 동반 행렬들의 직합으로 나타내는 행렬 표준형이다.[1][2]

정의

요약
관점

를 계수로 하는 일계수 다항식

동반 행렬(同伴行列, 영어: companion matrix)은 다음과 같은 정사각 행렬이다.

유리 표준형

위의 임의의 정사각 행렬 에 대하여, 다음 조건들을 만족시키는 가역 행렬 및 유일한 일계수 다항식 집합 이 존재하며, (불변 인자) 유리 표준형(영어: (invariant factors) rational canonical form)이라고 한다.

이는 으로 유도되는 -가군

불변 인자 분해

에서, 에 대응하는 -선형 변환 의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.

으뜸 유리 표준형

위의 임의의 정사각 행렬 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 및 유일한 기약 일계수 다항식의 양의 거듭제곱의 중복집합 이 존재하며, 으뜸 유리 표준형(영어: primary rational canonical form) 또는 초등 인자 유리 표준형(영어: elementary divisors rational canonical form)이라고 한다.

이는 -가군

으뜸 분해

에서, -선형 변환 의 다음과 같은 기저에 대한 행렬이다.

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역사와 어원

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 도입하였다.[3][4] ‘유리’(영어: rational)라는 표현은 유리 표준형이 임의의 체를 성분으로 하는 행렬에 대하여 성립하기 때문에 유리 표준형을 얻기 위해 체를 확대할 필요가 없다는 사실을 일컫는다.

같이 보기

참고 문헌

외부 링크

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