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유사구

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기하학에서, 유사구(類似球, 영어: pseudosphere)는 가우스 곡률이 음의 상수인 곡면이다. 에서 정의된, 반지름이 R인 유사구의 가우스 곡률은 1/R2로 일정하다. 이는 반지름이 R인 구의 가우스 곡률이 1/R2로 일정한 것과 유사한데, 이 사실로부터 유사구라는 명칭이 붙었다.

유사구는 1868년 쌍곡기하학에 관한 에우제니오 벨트라미의 논문에서 처음 언급되었다.[1]

추적선의 회전곡면

Thumb

추적선점근선에 대해 회전시키면 유사구가 된다. 이때 추적선은 아래 식처럼 매개화된다.(추적선의 꺾이는 점을 포함하지 않는 부분에 대한 매개화이다.)[2]

유사구는 특이점을 가지는 적도 부분을 제외한 곡면의 모든 점에서 음의 가우스 곡률을 가진다. 따라서 유사구는 국소적으로 쌍곡 곡면으로의 등거리변환이 존재한다. 유사구는 모든 점에서 양의 가우스 곡률을 가지는 와 반대된다. 유사구의 특이점을 제외한 모든 점은 안장점에 해당한다.

유사구는 곡면이 무한히 뻗어나가지만 그 넓이와 부피는 유한하다. 반지름이 R인 유사구의 넓이R2로 구와 같고, 부피는 구의 절반에 해당하는 2/3πR3이다.[3][4]

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같이 보기

각주

참고 문헌

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