이차 수체

대수적 수론에서 이차 수체(二次數體, 영어: quadratic field)는 차원이 2인 대수적 수체이다.

정의

이차 수체는 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$의 꼴인 대수적 수체이다. 여기서 ${\displaystyle d}$는 ${\displaystyle +1}$이 아닌 (음 또는 양의) 제곱 인수가 없는 정수이다. 만약 ${\displaystyle d>0}$이면 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$를 실수 이차 수체(實數二次數體, 영어: real quadratic field)라고 하고, ${\displaystyle d<0}$이면 복소 이차 수체(複素二次數體, 영어: complex quadratic field)라고 한다. 이차 수체의 대수적 정수환의 원소를 이차 정수(二次整數, 영어: quadratic integer)라고 한다.

성질

정수환

이차 수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$의 대수적 정수환은 다음과 같다.

${\displaystyle {\mathcal {o}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}={\begin{cases}\mathbb {Z} +{\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}})\mathbb {Z} &d\equiv 1{\pmod {4}}\\\mathbb {Z} +{\sqrt {d}}\mathbb {Z} &d\not \equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

판별식

이차 수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$의 판별식은 다음과 같다.

${\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\not \equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

이는 ${\displaystyle d\not \equiv 1{\pmod {4}}}$인 경우에는

${\displaystyle \Delta =\left(\det {\begin{pmatrix}1&{\sqrt {d}}\\1&-{\sqrt {d}}\end{pmatrix}}\right)^{2}=4d}$

이지만, ${\displaystyle d\equiv 1{\pmod {4}}}$인 경우에는

${\displaystyle \Delta =\left(\det {\begin{pmatrix}1&(1+{\sqrt {d}})/2\\1&(1-{\sqrt {d}})/2\end{pmatrix}}\right)^{2}=d}$

이기 때문이다.

사실, 판별식이 ${\displaystyle \Delta \equiv 0,1{\pmod {4}}}$인 이차 수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$의 대수적 정수환은 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {o}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}=\mathbb {Z} \left[{\frac {\Delta +{\sqrt {\Delta }}}{2}}\right]={\begin{cases}\mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {\Delta }}}{2}}\right]&d=\Delta \equiv 1{\pmod {4}}\\\mathbb {Z} [{\sqrt {\Delta /4}}]&4d=\Delta \equiv 0{\pmod {4}}\end{cases}}}$

보다 일반적으로, 임의의 제곱수가 아닌 ${\displaystyle \Delta \equiv 0,1{\pmod {4}}}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\tfrac {\Delta +{\sqrt {\Delta }}}{2}}\right]}$는 이차 수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$ 속의, 판별식 ${\displaystyle \Delta }$ 정환(영어: order)을 이룬다. 반대로, 이차 수체 속의, 판별식이 ${\displaystyle \Delta }$인 정환은 이것 밖에 없다.^{[1]:273, (2)}

소수의 분기화

체의 확대 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbb {Q} }$에서, 유리 소수 ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$는 확대에 따라서 다음과 같은 분기화를 보인다.

• 만약 크로네커 기호 ${\displaystyle \left({\tfrac {\Delta }{p}}\right)=-1}$이라면, ${\displaystyle (p)}$는 ${\displaystyle {\mathcal {o}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}}$에서 여전히 소 아이디얼이다.
• 만약 크로네커 기호 ${\displaystyle \left({\tfrac {\Delta }{p}}\right)=+1}$이라면, ${\displaystyle (p)}$는 ${\displaystyle {\mathcal {o}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}}$에서 두 개의 서로 다른 소 아이디얼의 곱이다.
• 만약 ${\displaystyle p\mid \Delta }$라면, ${\displaystyle (p)}$는 ${\displaystyle {\mathcal {o}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}}$의 어떤 소 아이디얼의 제곱이다.

유수

이차 수체의 유수는 매우 불규칙하다.

실수 이차 수체

유수가 ${\displaystyle h}$인 실수 이차 수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$의 ${\displaystyle d}$들의 목록은 다음과 같다.

h	OEIS 번호	d
1	A3172	2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, …
2	A29702	10, 15, 26, 30, 34, 35, 39, 42, 51, 55, 58, 65, …
3	A29703	79, 142, 223, 229, 254, 257, 321, 326, 359, 443, …
4	A29704	82, 130, 145, 170, 195, 210, 219, 231, 255, 274, …
5	A29705	401, 439, 499, 727, 817, 982, 1093, 1126, 1327, …

허수 이차 수체

유수가 ${\displaystyle h}$인 허수 이차 수체 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$의 ${\displaystyle d}$들의 목록은 다음과 같다. 작은 ${\displaystyle d}$에 대하여 이 목록은 유한하며, 특히 ${\displaystyle h=1}$인 경우를 헤그너 수라고 한다.

h	OEIS 번호	d
1	A3173	1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163
2	A5847	5, 6, 10, 13, 15, 22, 35, 37, 51, 58, 91, 115, 123, 187, 235, 267, 403, 427
3	A6203	23, 31, 59, 83, 107, 139, 211, 283, 307, 331, 379, 499, 547, 643, 883, 907
4	A46085	14, 17, 21, 30, 33, 34, 39, 42, 46, 55, 57, 70, 73, 78, 82, 85, 93, 97, 102, 130, 133, 142, 155, 177, 190, 193, 195, 203, 219, 253, 259, 291, 323, 355, 435, 483, 555, 595, 627, 667, 715, 723, 763, 795, 955, 1003, 1027, 1227, 1243, 1387, 1411, 1435, 1507, 1555
5	A46002	47, 79, 103, 127, 131, 179, 227, 347, 443, 523, 571, 619, 683, 691, 739, 787, 947, 1051, 1123, 1723, 1747, 1867, 2203, 2347, 2683
6	A55109	26, 29, 38, 53, 61, 87, 106, 109, 118, 157, 202, 214, 247, 262, 277, 298, 339, 358, 397, 411, 451, 515, 707, 771, 835, 843, 1059, 1099, 1147, 1203, 1219, 1267, 1315, 1347, 1363, 1563, 1603, 1843, 1915, 1963, 2227, 2283, 2443, 2515, 2563, 2787