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이합체 모형

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통계역학그래프 이론에서 이합체 모형(二合體模型, 영어: dimer model)은 어떤 그래프 위의 완벽 부합들의 공간 위에 정의되는 통계역학 모형이다.

정의

요약
관점

이합체 모형

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 유한 그래프
  • 실수 값 함수 . 이를 각 변의 에너지라고 한다.

그렇다면, 완벽 부합들의 집합을

로 표기하자. 통계 역학에서, 완벽 부합은 보통 이합체 배치(二合體配置, 영어: dimer configuration)라고 하며, 그래프의 변은 이합체라고 한다. 즉, 흔히 사용되는 수학 용어 및 대응되는 물리학 용어는 다음과 같다.

자세한 정보 수학, 물리학 ...

이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.

  • 위상 공간완벽 부합의 집합 이다.
  • 임의의 완벽 부합 에너지는 부합에 속하는 변들의 에너지들의 합 이다.
  • 온도 에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 로 정의되는 기브스 측도이다.

여기서 값 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 이합체 모형이라고 한다.

단량체-이합체 모형

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 유한 그래프
  • 실수 값 함수 . 이를 이합체 에너지(二合體energy, 영어: dimer energy)라고 한다.
  • 실수 값 함수 . 이를 단량체 에너지(單量體energy, 영어: monomer energy)라고 한다.

그렇다면, 부합들의 집합을

로 표기하자.

이제, 다음과 같은 통계 역학 모형을 정의할 수 있다.

  • 위상 공간부합의 집합 이다.
  • 임의의 부합 에너지는 부합에 속하는 변들의 이합체 에너지들과, 부합에 인접하지 않는 꼭짓점들의 단량체 에너지들의 합이다.
  • 온도 에서, 위상 공간 위의 측도는 이 에너지 함수 로 정의되는 기브스 측도이다.

여기서 값 분배 함수이다. 이 통계 역학 모형을 단량체-이합체 모형(영어: monomer–dimer model)이라고 한다.

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성질

요약
관점

단량체-이합체 모형과 이합체 모형의 관계

적어도 하나 이상의 완벽 부합을 갖는 유한 그래프 위에서, 만약 단량체 에너지를 무한대로 취할 경우,

단량체-이합체 모형은 이합체 모형으로 수렴한다.

상관 함수

유한 그래프 위의 이합체 모형이 주어졌다고 하자. 각 변 에 대하여, 관측 가능량 지시 함수

로 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합

에 대하여, 상관 함수

를 정의할 수 있다. 만약 가 서로 닿는 두 변을 포함한다면,

이다.

보다 일반적으로, 유한 그래프 위의 단량체-이합체 모형이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 변 및 각 꼭짓점 에 대하여 지시 함수 관측 가능량

을 정의할 수 있다. 이에 따라, 임의의 변 집합

및 꼭짓점 집합

에 대하여, 상관 함수

를 정의할 수 있다. 만약 가 서로 닿는 두 변을 포함하거나, 만약 의 원소가 의 원소와 인접한다면,

이다.

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요약
관점
Thumb
피셔 격자

2차원 이징 모형피셔 격자(영어: Fisher lattice)라는 어떤 특별한 평면 삼차 그래프 위의 이합체 모형과 동치이다.[1]:§1 피셔 격자는 정12각형과 정삼각형으로 구성된 평면 테셀레이션의 그래프이다.

구체적으로, 평면의 정사각 격자 그래프에서, 각 꼭짓점

을 나비 모양의 삼차 그래프

─┬┐ ┌┬─
 │├─┤│
─┴┘ └┴─

로 치환하여 얻는다. 즉, (45도 회전하여 그린) 사각형 격자의 부분

 ╳
╳ ╳
 ╳

은 피셔 격자의 부분

      ─┬┐ ┌┬─
       │├─┤│
─┬┐ ┌┬─┴┘ └┴─┬┐ ┌┬─
 │├─┤│       │├─┤│
─┴┘ └┴─┬┐ ┌┬─┴┘ └┴─
       │├─┤│
      ─┴┘ └┴─

에 대응한다. 이 경우, 각 꼭짓점에서 완벽 부합은 다음과 같은 8개의 가능한 꼴을 가진다.

자세한 정보 피셔 격자의 완벽 부합, 평면 이징 모형의 스핀 배열 ...

(굵게 표현된 변이 완벽 부합에 속하는 변이다.)

즉, 이는 2차원 이징 모형의 임의의 상태에서, 각 스핀 사이의 변을

  • 서로 다른 스핀 사이의 변은 굵게,
  • 서로 같은 스핀 사이의 변은 가늘게

칠한 뒤, 각 꼭짓점을 위와 같은 8개의 나비 그래프 가운데 하나로 치환하면, 이징 모형의 각 상태와 피셔 격자의 완벽 부합 사이의 2대 1 대응을 얻는다. (2대 1인 것은 이징 모형의 상태에서 모든 스핀을 뒤집어도 같은 완벽 부합에 대응하기 때문이다.)

예를 들어, (45도 기울여서 그린) 평면 이징 모형의 상태의 일부분이

    ╲ ╱
     +
  ╲ ╱ ╲ ╱
   +   +
╲ ╱ ╲ ╱ ╲ ╱
 −   +   +
╱ ╲ ╱ ╲ ╱ ╲
   +   −
  ╱ ╲ ╱ ╲
     −
    ╱ ╲

와 같은 꼴이라면, 이는 다음과 같은 피셔 격자 완벽 부합에 대응한다.

      ─┰┐ ┌┰─
       ┃┝━┥┃ 
━┭┐ ┌┰─┸┘ └┸─┮┓ ┏┭─
 │┝━┥┃       │┞─┦│
━┵┘ └┸─┮┓ ┌┮━┵┘ └┶━
       │┞─┧│ 
      ━┵┘ ┗┵─
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같이 보기

각주

독서 자료

외부 링크

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