초함수

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수학에서 초함수(generalized function)는 실수 또는 복소수 함수의 개념을 확장한 대상이다. 인식된 이론은 여러 가지가 있는데, 예를 들어 분포 이론이 있다. 초함수는 불연속 함수를 매끄러운 함수와 더 유사하게 다루고, 점전하와 같은 이산적인 물리 현상을 설명하는 데 특히 유용하다. 특히 물리학과 공학 분야에서 광범위하게 적용된다. 중요한 동기는 편미분 방정식 이론과 군의 표현의 기술적 요구사항이었다.

일부 접근 방식의 공통적인 특징은 일상적인 수치 함수들의 연산자 측면을 기반으로 한다는 것이다. 초기 역사는 연산 미적분에 대한 일부 아이디어와 관련이 있으며, 일부 현대적 발전은 사토 미키오의 대수적 해석학과 밀접하게 관련되어 있다.

일부 초기 역사

19세기 수학에서 초함수 이론의 측면이 나타났는데, 예를 들어 그린 함수의 정의, 라플라스 변환, 그리고 리만의 적분 가능 함수의 푸리에 급수가 반드시 아니었던 삼각급수 이론에서 찾아볼 수 있다. 이는 당시 해석학 (수학)의 단절된 측면들이었다.

공학에서 라플라스 변환의 집중적인 사용은 연산 미적분이라고 불리는 휴리스틱 이론적 기호 방법의 사용으로 이어졌다. 발산 급수를 사용한 정당화가 주어졌기 때문에 이 방법은 순수수학의 관점에서 의심스러웠다. 이들은 나중에 초함수 방법이 적용되는 전형적인 예시이다. 연산 미적분학에 대한 영향력 있는 책은 올리버 헤비사이드의 1899년 저서 『전자기 이론』이었다.

르베그 적분이 도입되었을 때, 수학의 핵심에 있는 초함수에 대한 개념이 처음으로 생겨났다. 르베그 이론에서 적분 가능 함수는 거의 어디서나 동일한 다른 어떤 함수와도 동등하다. 이는 각 지점에서의 함수 값이 (어떤 의미에서) 가장 중요한 특징이 아니라는 것을 의미한다. 함수해석학에서 적분 가능 함수의 본질적인 특징, 즉 다른 함수에 대한 선형 범함수를 정의하는 방식에 대한 명확한 공식화가 제공된다. 이를 통해 약도함수를 정의할 수 있다.

1920년대 후반과 1930년대에 추가적인 기본 단계가 진행되었다. 폴 디랙은 디랙 델타 함수를 과감하게 정의했다(그의 과학적 형식주의의 한 측면). 이것은 밀도(예: 전하 밀도)로 간주되는 측도를 실제 함수처럼 다루기 위한 것이었다. 편미분 방정식 이론을 연구하던 세르게이 소볼레프는 편미분 방정식의 약해 (수학)를 정의하기 위해(즉, 초함수이지만 일반 함수는 아닐 수 있는 해) 초함수의 첫 번째 엄밀한 이론을 정의했다.^[1] 당시 관련 이론을 제안했던 다른 학자들은 잘로몬 보흐너와 쿠르트 프리드리히스였다. 소볼레프의 작업은 로랑 슈바르츠에 의해 확장되었다.^[2]

슈바르츠 분포

가장 결정적인 발전은 로랑 슈바르츠가 개발한 분포 이론으로, 위상 벡터 공간에 대한 쌍대 공간의 원리를 체계적으로 구현했다. 응용수학 분야에서 이 이론의 주요 경쟁자는 부드러운 근사치 시퀀스를 사용하는 완화자 이론이다(제임스 라이트힐 설명).^[3]

이 이론은 매우 성공적이었고 여전히 널리 사용되고 있지만, 분포를 일반적으로 곱할 수 없다는 주요 단점이 있다. 즉, 대부분의 고전적인 함수 공간과 달리 대수를 형성하지 않는다. 예를 들어, 디랙 델타 함수를 제곱하는 것은 무의미하다. 슈바르츠가 1954년경에 수행한 작업은 이것이 본질적인 어려움임을 보여주었다.

초함수 대수

곱셈 문제에 대한 몇 가지 해결책이 제안되었다. 하나는 Yu. V. Egorov의 간단한 정의에 기반한다^[4] (아래 책 목록에 있는 Demidov의 책에 있는 그의 기사도 참조). 이것은 초함수 간에 임의의 연산을 허용한다.

곱셈을 허용하는 또 다른 해결책은 양자역학의 경로 적분 공식화에서 제안된다. 이것은 좌표 변환에 불변하는 슈뢰딩거 양자역학 이론과 동등해야 하므로, 이 속성은 경로 적분에도 공유되어야 한다. 이것은 하겐 클라이너트와 A. Chervyakov가 보여준 바와 같이 모든 초함수의 곱을 고정한다.^[5] 그 결과는 차원 조절에서 파생될 수 있는 것과 동일하다.^[6]

초함수 대수를 구성하기 위한 여러 가지 방법이 제안되었는데, 그 중에는 Yu. M. Shirokov의 것^[7]과 E. Rosinger, Y. Egorov, R. Robinson의 것이 있다. 첫 번째 경우, 곱셈은 초함수의 일부 정규화에 의해 결정된다. 두 번째 경우, 대수는 분포의 곱셈으로 구성된다. 두 경우 모두 아래에서 논의한다.

비가환 초함수 대수

초함수의 대수는 함수 ${\displaystyle F=F(x)}$를 그 매끄러운 부분 ${\displaystyle F_{\rm {smooth}}}$과 특이 부분 ${\displaystyle F_{\rm {singular}}}$으로 적절하게 투영하는 절차로 구성될 수 있다. 초함수 ${\displaystyle F}$와 ${\displaystyle G}$의 곱은 다음과 같이 나타난다.

${\displaystyle FG~=~F_{\rm {smooth}}~G_{\rm {smooth}}~+~F_{\rm {smooth}}~G_{\rm {singular}}~+F_{\rm {singular}}~G_{\rm {smooth}}.}$

(1)

이러한 규칙은 주함수의 공간과 주함수 공간에 작용하는 연산자의 공간 모두에 적용된다. 곱셈의 결합성이 달성되며, 부호 함수(signum function)는 제곱이 모든 곳에서(좌표 원점을 포함하여) 1이 되도록 정의된다. 특이 부분의 곱은 (1)의 우변에 나타나지 않음에 유의하라. 특히, ${\displaystyle \delta (x)^{2}=0}$이다. 이러한 형식주의는 (곱셈이 없는) 기존 초함수 이론을 특수한 경우로 포함한다. 그러나 결과 대수는 비가환적이다. 즉, 부호 함수와 델타 함수는 반교환한다.^[7] 이 대수의 몇 가지 응용이 제안되었다.^[8][9]

분포의 곱셈

슈바르츠 분포 이론의 한계인 분포의 곱셈 문제는 비선형 문제에서 심각해진다.

오늘날 다양한 접근 방식이 사용된다. 가장 간단한 것은 Yu. V. Egorov가 제시한 초함수 정의를 기반으로 한다.^[4] 결합 미분 대수를 구성하는 또 다른 접근 방식은 J.-F. Colombeau의 구성에 기반한다. 콜롬보 대수를 참조하라. 이들은 "보통" 모듈로 "무시할 만한" 함수 망의 몫공간이며, 여기서 "보통성"과 "무시할 만함"은 가족의 인덱스에 대한 성장을 의미한다.

예시: 콜롬보 대수

N에 대한 다항식 스케일을 사용하여 간단한 예를 얻을 수 있다. ${\displaystyle s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}}$. 그러면 모든 반노름 대수 (E,P)에 대해 몫 공간은 다음과 같다.

${\displaystyle G_{s}(E,P)={\frac {\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\exists m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}{\{f\in E^{\mathbb {N} }\mid \forall p\in P,\forall m\in \mathbb {Z} :p(f_{n})=o(n^{m})\}}}.}$

특히, (E, P)=(C,|.|)의 경우 (콜롬보의) 초복소수를 얻는다(이는 "무한히 크고" "무한히 작을" 수 있으며 여전히 엄밀한 산술을 허용하며, 비표준 수와 매우 유사하다). (E, P) = (C^∞(R),{p_k})의 경우 (여기서 p_k는 반경 k인 공에서 k차 이하의 모든 도함수의 상한이다) 콜롬보의 단순화된 대수를 얻는다.

슈바르츠 분포의 주입

이 대수는 주입을 통해 D'의 모든 분포 T를 "포함"한다.

j(T) = (φ_n ∗ T)_n + N,

여기서 ∗는 합성곱 연산이며,

φ_n(x) = n φ(nx).

이 주입은 완화자 φ의 선택에 따라 달라진다는 점에서 비정준적이다. 완화자는 C^∞이고, 적분 값이 1이며, 0에서의 모든 도함수가 0이어야 한다. 정준적 주입을 얻기 위해서는 인덱스 집합을 N × D(R)로 수정할 수 있으며, D(R)에는 편리한 필터 기저가 사용된다(q차까지의 모멘트가 사라지는 함수).

층 구조

만약 (E,P)가 어떤 위상 공간 X 상의 반노름 대수의 (준)층이라면, G_s(E, P)도 이 속성을 가질 것이다. 이는 제한의 개념이 정의될 수 있음을 의미하며, 이를 통해 하위층에 대한 초함수의 지지집합을 정의할 수 있다. 특히:

• 하위층 {0}의 경우, 일반적인 지지집합(함수가 0인 가장 큰 열린 집합의 여집합)을 얻는다.
• 하위층 E의 경우(정준(상수) 주입을 사용하여 삽입됨), 특이 지지집합이라고 불리는 것을 얻는다. 즉, 대략적으로 말해서 초함수가 매끄러운 함수가 아닌 집합의 폐포를 의미한다 (E = C^∞의 경우).

미세 국소 해석

 미세 국소 해석 문서를 참고하십시오.

컴팩트 지지 초함수에 대해 푸리에 변환이 (잘) 정의되므로(구성 요소별로), 분포와 동일한 구성을 적용하여 초함수에 대한 라르스 회르만데르의 파면 집합도 정의할 수 있다.

이것은 수학적 특이점의 전파 분석에 특히 중요하게 적용된다.

다른 이론

여기에는 정역인 합성곱 대수의 분수체에 기반한 얀 미쿠신스키의 합성곱 몫 이론과 (초기 개념에서) 해석 함수의 경계 값에 기반하고 현재 층 이론을 사용하는 사토 초함수 이론이 포함된다.

초단면

이론이 확장된 또 다른 방법은 매끄러운 벡터 다발의 초단면으로서이다. 이는 테스트 대상(컴팩트 지지체를 가진 다발의 매끄러운 단면)의 쌍대 대상을 구성하는 슈바르츠 패턴에 따른 것이다. 가장 잘 개발된 이론은 미분 형식의 쌍대인 드람 전류 이론이다. 이들은 미분 형식이 드람 코호몰로지를 생성하는 방식에서 본질적으로 호몰로지적이다. 이들은 매우 일반적인 스토크스의 정리를 공식화하는 데 사용될 수 있다.

같이 보기

• 베포-레비 공간
• 디랙 델타 함수
• 분포 (수학)
• 사토 초함수
• 지시 함수의 라플라시안
• 리게드 힐베르트 공간
• 분포의 극한
• 일반화된 공간
• 초분포

책

• Schwartz, L. (1950). 《Théorie des distributions》 1. Paris: Hermann. OCLC 889264730. Vol. 2. OCLC 889391733
• Beurling, A. (1961). 《On quasianalyticity and general distributions》 (multigraphed lectures). Summer Institute, Stanford University. OCLC 679033904.
• Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič; Vilenkin, Naum Jakovlevič (1964). 《Generalized Functions》 I–VI. Academic Press. OCLC 728079644.
• Hörmander, L. (2015). 《The Analysis of Linear Partial Differential Operators》 2판. Springer. ISBN 978-3-642-61497-2. 지원되지 않는 변수 무시됨: |orig-date= (도움말)
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• Vladimirov, V.S. (2002). 《Methods of the theory of generalized functions》. Taylor & Francis. ISBN 978-0-415-27356-5.
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