일반화 힘

일반화 힘(generalized force)이란 라그랑주 역학에서 도입된 개념으로, 외부에서 입자 i에 작용한 힘을 일반화 좌표로 변환한 것을 의미한다.

정의

n개의 입자 중, i번째 입자에 외부에서 작용한 힘을 F_i라 하면, 이 때, 일반화 좌표 {q₁, q₂, …, q_σ}에 대한 일반화 힘 Q_σ은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Q_{\sigma }=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\partial \mathbf {r} _{i} \over \partial q_{\sigma }}}$

유도

일반화 힘의 표현은 외부 힘에 대한 가상 일을 통해 얻는다. n개의 입자로 이루어진 계를 생각해보자. 이 때, 가상 일 δW는 외부 힘 F_i 와 가상 변위 δr_i의 스칼라곱으로 나타난다.^[1]:265

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}}$

여기서 δr_i는 다음과 같이 일반화 좌표에 대한 가상 변위 δq_σ를 써서 표현할 수 있다.

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{\sigma }{\partial \mathbf {r} _{i} \over \partial q_{\sigma }}\delta q_{\sigma }}$

이를 첫 번째 식에 대입하면, 가상 일을 일반화 좌표에 대한 가상 변위로 표현할 수 있는데,

${\displaystyle \delta W=\sum _{\sigma }\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\partial \mathbf {r} _{i} \over \partial q_{\sigma }}\right)\delta q_{\sigma }}$

여기서, 괄호안의 부분 Q_σ

${\displaystyle Q_{\sigma }=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot {\partial \mathbf {r} _{i} \over \partial q_{\sigma }}}$

를 일반화 힘이라 정의하고, 이에 대한 가상 일은

${\displaystyle \delta W=\sum _{\sigma }Q_{\sigma }\delta q_{\sigma }\;}$

이 되어 식이 원래 형태에서 변하지 않음을 알 수 있다.

여기서, q_σ에 거리를 넣으면 Q_σ의 차원은 힘의 차원이 되고, q_σ에 각을 넣으면 Q_σ의 차원은 돌림힘의 차원이 됨을 알 수 있다.

같이 보기

• 일반화 좌표
• 일반화 운동량
• 달랑베르의 원리