자연로그의 밑의 원주율 제곱

자연로그의 밑 ${\displaystyle e}$의 원주율 ${\displaystyle \pi }$ 제곱 ${\displaystyle e^{\pi }}$은 23과 24 사이의 실수이며, 겔폰트-슈나이더 정리를 사용하여 초월수임을 보일 수 있다.

값

${\displaystyle e^{\pi }}$의 값은 다음과 같다 (OEIS의 수열 A039661).

${\displaystyle e^{\pi }=23.140692632779\cdots }$

성질

초월성

오일러 항등식에 따라,

${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i}}$

이다. ${\displaystyle -i}$가 대수적 수이며, 실수가 아니므로 유리수가 아니다. 겔폰트-슈나이더 정리에 의하여, ${\displaystyle e^{\pi }}$는 초월수이다.

연분수 표현

${\displaystyle e^{\pi }}$는 다음과 같은 연분수 전개를 갖는다 (OEIS의 수열 A058287).

${\displaystyle e^{\pi }=23+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{591+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{34+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

극한 공식

${\displaystyle e^{\pi }}$는 다음과 같은 극한을 통해 빠르게 근사할 수 있다.^{[1]:137, Algorithm 3.7}

${\displaystyle e^{\pi }=\lim _{n\to \infty }(k_{n}/4)^{-1/2^{n-1}}}$

여기서

${\displaystyle k_{0}=1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}$

같이 보기

• 초월수
• 오일러 항등식
• 겔폰트-슈나이더 상수