장이론

틀:수학 관련 정보

물리학
물리학이 다루는 여러 자연 현상
주요 개념
물질, 힘, 에너지, 운동, 기본 상호작용
주요 분야
역학 고전역학 양자역학 통계역학 열역학 동역학 유체동역학 정역학 전자기학 광학 천체물리학 상대성 이론 특수 상대성 이론 일반 상대성 이론 입자물리학 표준모형 이론물리학 양자장론 초끈이론 수리물리학

틀:이론물리학

장이론（場理論, field theory）은 물리학 및 수학의 여러 분야에서 시공간의 각 점에 대응하는 물리량 또는 수학적 구조로서의 장의 변화를 서술하는 이론체계이다. 고전적 맥스웰 방정식으로부터 출발하여, 현대의 양자장론에 이르기까지 자연현상의 본질을 기술하는 보편적 언어로 기능하며, 입자물리학, 통계물리학, 중력이론 및 끈이론 등에 긴밀히 연계된다.

수학적 구조

장이론은 일반적으로 다양체 ${\displaystyle M}$ 위에 정의된 섬유다발의 단면으로서의 장을 다루며, 그 동역학은 작용 함수의 정준적 변화로부터 유도된다. 구체적으로, 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같은 작용 원리에 의해 도출된다.

${\displaystyle S[\phi ]=\int _{M}{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )\,d^{n}x}$

여기서 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$은 라그랑지언 밀도, ${\displaystyle \phi }$는 장, ${\displaystyle M}$은 시공간 다양체, 그리고 ${\displaystyle S[\phi ]}$는 작용 (물리학)을 나타낸다.

고전장이론

양자화 이전의 장이론은 결정론적 연속장으로서 물리량의 진화를 서술하며, 주요한 예는 다음과 같다.

• 전자기장이론：맥스웰 방정식에 근거하며, 전기장 및 자기장을 전자기장 텐서로 통합한다.
• 중력이론：일반상대성이론에서 계량 텐서를 장으로 보고, 아인슈타인 장 방정식에 의해 동역학을 서술한다.

맥스웰 이론

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }}$

여기서 ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$는 전자기장 텐서, ${\displaystyle J^{\nu }}$는 4차원 전류 밀도이다.

양자장이론

양자장론은 장을 양자역학적 방식으로 양자화하여, 입자를 장의 양자 들뜸으로 간주한다. 이는 표준 모형의 수학적 기반으로 작용하며, 페르미온장과 보손장 등이 존재한다.

경로적분 형식

${\displaystyle \langle 0|{\mathcal {O}}|0\rangle =\int {\mathcal {D}}\phi \,{\mathcal {O}}[\phi ]\,e^{iS[\phi ]/\hbar }}$

이 표현은 경로적분을 통한 진공기댓값 계산을 서술하며, 장의 함수 공간 위에서의 위상합을 반영한다.

대표 이론

• 양자전기역학：전자기장과 전자의 양자적 상호작용을 기술
• 양자색역학：강한 상호작용을 기술하는 이론
• 표준 모형：전자기력, 약한 상호작용, 강한 상호작용을 통합

게이지장이론

게이지 대칭에 근거한 장이론은 게이지장의 존재를 필연화하며, 이는 접속이론 및 섬유다발 이론과 수학적으로 등가이다.

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+[A_{\mu },A_{\nu }]}$

이는 비가환 게이지군에 대하여 곡률 텐서를 기술하며, 양-밀스 이론의 근간을 이룬다.

통계장이론

장이론은 통계역학과의 접합을 통해 임계현상, 상전이, 스핀계 등에서 유용하게 응용되며, 특히 2차원 등각장이론 및 위상장이론으로 확장된다.

수학적 장이론

현대의 수리물리학에서는 다음과 같은 추상화된 장이론이 연구된다.

• 변형양자장이론：모듈라이 공간과 거울대칭 등과 관련
• 위상장이론（TQFT）：다양체 불변량 및 코호몰로지 이론과 연계
• 양자코호몰로지：대수기하학 및 양자역학의 접점

현대적 전개

장이론은 끈이론, M-이론, 비가환기하학, 양자중력 등으로 확장되었으며, 기하학적 표현이론, 수리물리학, 범주론적 양자장이론 등과도 긴밀히 연결된다.

관련 어휘

• 장 (물리학)
• 작용 원리
• 변분 원리
• 게이지 이론
• 양자장론
• 표준 모형
• 스핀 통계 정리
• 히그스 장