전집합

이 글의 주제는 전체 집합이 아닙니다.

함수해석학에서 전집합(全集合, 영어: total set)은 모든 벡터들을 선형 생성을 통하여 근사할 수 있는, 위상 벡터 공간의 부분 집합이다.

정의

위상체 ${\displaystyle K}$에 대한 위상 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 부분 집합 ${\displaystyle S\subseteq V}$가 다음 조건을 만족시키면, ${\displaystyle V}$의 전집합이라고 한다.

• 선형 생성 ${\displaystyle \operatorname {Span} (S)\subseteq V}$가 조밀 집합이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle v\in V}$ 및 영벡터의 근방 ${\displaystyle U\ni 0}$에 대하여, ${\displaystyle a_{1}s_{1}+\cdots +a_{n}s_{n}\in v+U}$인 유한 개의 벡터 ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{n}\in S}$ 및 스칼라 ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in K}$가 존재한다.

예

모든 흡수 집합은 전집합이다. 특히, 영벡터의 근방은 항상 전집합이다.^{[1]:11, Definition 1, Example (1)}

복소수 바나흐 공간 ${\displaystyle V={\mathcal {C}}([0,1];\mathbb {C} )}$에서,

${\displaystyle S=\{x\mapsto x^{n}\colon n\in \mathbb {N} \}}$

는 전집합이다 (스톤-바이어슈트라스 정리).^{[1]:11, Definition 1, Example (2)}

마찬가지로, 복소수 바나흐 공간 ${\displaystyle V=\{f\in {\mathcal {C}}([0,1];\mathbb {C} )\colon f(0)=f(1)\}}$에서,

${\displaystyle S=\{x\mapsto \exp(2n\pi ix)\colon n\in \mathbb {Z} \}}$

는 전집합이다.^{[1]:11, Definition 1, Example (2)}