전하 운반자 밀도

전하 운반자 밀도(영어: Charge carrier density), 또는 캐리어 농도(영어: carrier concentration)는 부피당 전하 운반자의 수를 나타낸다. SI 단위계에서는 m^-3으로 측정된다. 다른 밀도와 마찬가지로 원칙적으로 위치에 따라 달라질 수 있다. 그러나 일반적으로 운반자 농도는 단일 숫자로 주어지며, 전체 재료에 대한 평균 운반자 밀도를 나타낸다.

전하 운반자 밀도는 도전율에 관한 방정식, 열전도율과 같은 관련 현상, 공유 결합과 같은 화학 결합을 포함한다.

계산

운반자 밀도는 일반적으로 재료의 전하 운반자 에너지 범위에 걸쳐 상태 밀도를 적분하여 이론적으로 얻어진다(예: 전자의 경우 전도띠에 걸쳐 적분, 정공의 경우 원자가띠에 걸쳐 적분).

총 전하 운반자 수가 알려져 있으면 단순히 부피로 나누어 운반자 밀도를 구할 수 있다. 이를 수학적으로 나타내면, 전하 운반자 밀도는 입자 밀도이므로, 부피 ${\displaystyle V}$에 걸쳐 이를 적분하면 해당 부피 내 전하 운반자 수 ${\displaystyle N}$이 된다.

$${\displaystyle N=\int _{V}n(\mathbf {r} )\,dV.}$$

여기서 ${\displaystyle n(\mathbf {r} )}$은 위치에 따라 달라지는 전하 운반자 밀도이다.

밀도가 위치에 의존하지 않고 상수 ${\displaystyle n_{0}}$과 같으면 이 방정식은 다음과 같이 단순화된다.

$${\displaystyle N=V\cdot n_{0}.}$$

반도체

운반자 밀도는 반도체에 중요하며, 화학적 도핑 과정에서 중요한 양이다. 띠 이론을 사용하면, 전자 밀도 ${\displaystyle n_{0}}$는 전도띠의 부피 단위당 전자 수이다. 정공의 경우, ${\displaystyle p_{0}}$는 원자가띠의 부피 단위당 정공 수이다. 전자의 이 수를 계산하기 위해, 전도띠 전자의 총 밀도 ${\displaystyle n_{0}}$는 띠 바닥 ${\displaystyle E_{c}}$에서 띠 상단 ${\displaystyle E_{\text{top}}}$까지 띠 내의 다른 에너지에 걸친 전도 전자 밀도의 합으로 결정된다고 가정한다.

$${\displaystyle n_{0}=\int _{E_{c}}^{E_{\text{top}}}N(E)\,dE}$$

전자는 페르미온이므로, 특정 에너지 ${\displaystyle N(E)}$에서의 전도 전자의 밀도는 가능한 전도 상태의 수, 즉 상태 밀도 ${\displaystyle g(E)}$와 실제로 전자를 가질 상태의 비율을 알려주는 페르미-디랙 분포 ${\displaystyle f(E)}$의 곱이다. $${\displaystyle N(E)=g(E)f(E)}$$

계산을 단순화하기 위해 전자를 페르미-디랙 분포에 따라 페르미온으로 취급하는 대신, 맥스웰-볼츠만 분포로 주어지는 고전적인 비상호작용 기체로 취급한다. 이 근사는 ${\displaystyle |E-E_{f}|\gg k_{\text{B}}T}$일 때 무시할 수 있는 영향을 미치며, 이는 상온 근처의 반도체에 해당한다. 이 근사는 매우 낮은 온도 또는 극히 작은 띠 간격에서는 유효하지 않다.

$${\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+e^{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}\approx e^{-{\frac {E-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}$$

3차원 상태 밀도는 다음과 같다:$${\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m^{*}}{\hbar ^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {E-E_{0}}}}$$

조합 및 단순화 후, 이 표현들은 다음으로 이어진다.

$${\displaystyle n_{0}=2\left({\frac {m^{*}k_{\text{B}}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {E_{c}-E_{f}}{k_{\text{B}}T}}}}$$

여기서 ${\displaystyle m^{*}}$는 해당 반도체 내 전자의 유효 질량이며, ${\displaystyle E_{c}-E_{f}}$는 전도띠와 페르미 준위 사이의 에너지 차이로, 띠 간격 ${\displaystyle E_{g}}$의 절반이다.

$${\displaystyle E_{g}=2(E_{c}-E_{f})}$$

정공에 대해서도 유사한 표현을 도출할 수 있다. 운반자 농도는 띠간격을 가로질러 앞뒤로 움직이는 전자를 화학의 가역 반응 평형과 유사하게 취급하여 계산할 수 있으며, 이는 전자 질량 작용 법칙으로 이어진다. 질량 작용 법칙은 고유 운반자 농도라고 불리는 ${\displaystyle n_{i}}$라는 양을 정의하는데, 도핑되지 않은 재료의 경우 다음과 같다.

$${\displaystyle n_{i}=n_{0}=p_{0}}$$

다음 표는 띠 간격이 증가하는 순서대로 진성 반도체의 고유 운반자 농도 몇 가지 값을 나열한다.

재료	300K에서의 운반자 밀도 (1/cm3)
저마늄[1]	2.33×1013
규소[2]	9.65×109
갈륨 비소[3]	2.1×106
3C-SiC[4]	1.0×101
6H-SiC[4]	2.3×10−6
4H-SiC[4]	8.2×10−9
질화 갈륨[4]	1.9×10−10
다이아몬드[4]	1.6×10−27

이러한 운반자 농도는 이러한 재료가 도핑되면 달라질 것이다. 예를 들어, 순수 규소에 소량의 인을 도핑하면 전자의 운반자 밀도 n이 증가한다. 그러면 n > p이므로 도핑된 규소는 n형 불순물 반도체가 된다. 순수 규소에 소량의 붕소를 도핑하면 정공의 운반자 밀도가 증가하므로 p > n이 되고, 이는 p형 불순물 반도체가 된다.

금속

운반자 밀도는 금속에도 적용되며, 간단한 드루드 모형으로 추정할 수 있다. 이 경우 운반자 밀도(이 맥락에서는 자유 전자 밀도라고도 함)는 다음과 같이 추정할 수 있다.^[5]

$${\displaystyle n={\frac {N_{\text{A}}Z\rho _{m}}{m_{a}}}}$$

여기서 ${\displaystyle N_{\text{A}}}$는 아보가드로 상수, Z는 원자가 전자 수, ${\displaystyle \rho _{m}}$은 재료의 밀도, ${\displaystyle m_{a}}$는 원자 질량이다. 금속은 여러 산화수를 나타낼 수 있으므로, 원소 형태로 원소에 몇 개의 "원자가 전자"가 있어야 하는지에 대한 정확한 정의는 다소 임의적이지만, 다음 표는 애쉬크로프트와 머민에서 제공하는 자유 전자 밀도를 나열한다. 이는 타당한 원자가(Z) 가정과 실험적인 결정학 데이터로 계산된 질량 밀도(${\displaystyle \rho _{m}}$)를 기반으로 위의 공식을 사용하여 계산되었다.^[5]

재료	원자가 전자 수	300K에서의 운반자 밀도 (1/cm3)
구리	1	8.47×1022
은	1	5.86×1022
금	1	5.90×1022
베릴륨	2	2.47×1023
마그네슘	2	8.61×1022
칼슘	2	4.61×1022
스트론튬	2	3.55×1022
바륨	2	3.15×1022
나이오븀	1	5.56×1022
철	2	1.70×1023
망가니즈	2	1.65×1023
아연	2	1.32×1023
카드뮴	2	9.27×1022
알루미늄	3	1.81×1023
갈륨	3	1.54×1023
인듐	3	1.15×1023
탈륨	3	1.05×1023
주석	4	1.48×1023
납	4	1.32×1023
비스무트	5	1.41×1017
안티모니	5	1.65×1023

홀 효과 등으로 추론된 금속의 n 값은 종종 같은 자릿수에 속하지만 이 간단한 모델은 운반자 밀도를 매우 높은 정확도로 예측할 수는 없다.

측정

전하 운반자 밀도는 많은 경우 홀 효과를 사용하여 결정할 수 있으며^[6] 그 전압은 운반자 밀도에 반비례한다.