부등식

수학에서 부등식(不等式, 영어: inequality, 문화어: 안같기식)은 두 수 또는 식에 대한 크기를 비교하는 식이다. 부등식은 두 개의 수 및 두 개의 식 사이의 부등호(不等號, 영어: inequality sign)로 구성된다.

예를 들어, ${\displaystyle a>b}$는 ${\displaystyle a}$가 ${\displaystyle b}$보다 크다는 뜻이다. 반대로, ${\displaystyle a<b}$는 a가 b보다 작다는 뜻이다. ${\displaystyle \leq }$와 ${\displaystyle \geq }$는 부등호에 등호를 합친 것으로, 두 수가 같은 경우를 포함하는 부등호이다. 즉, ${\displaystyle a\leq b}$는 ${\displaystyle a<b}$ 또는 ${\displaystyle a=b}$를 나타내며 ${\displaystyle a\geq b}$는 ${\displaystyle a>b}$ 또는 ${\displaystyle a=b}$를 나타낸다.

여러 값을 비교할 때에는 ${\displaystyle a<b<c}$와 같이 여러 부등식을 잇기도 한다. 예시로 ${\displaystyle a<b<c}$는 ${\displaystyle a<b}$이며 ${\displaystyle b<c}$인 것을 줄여 쓴 것으로 ${\displaystyle a<c}$이기도 하다.

정의

실수 집합 ${\displaystyle \mathbb {R} }$에서, 두 실수 ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$에 대한 부등식은 다음과 같다.

부등식	읽기	무변수 실례	절대 부등식 실례
${\displaystyle a\neq b}$	${\displaystyle a}$가 ${\displaystyle b}$와 같지 않다	${\displaystyle 1\neq 2}$ ${\displaystyle 2.5\neq 3}$	${\displaystyle x^{2}\neq -1\qquad (x\in \mathbb {R} )}$
${\displaystyle a>b}$	${\displaystyle a}$가 ${\displaystyle b}$보다 크다	${\displaystyle 2>1}$ ${\displaystyle 2.5>2}$	${\displaystyle x^{2}>-1\qquad (x\in \mathbb {R} )}$
${\displaystyle a<b}$	${\displaystyle a}$가 ${\displaystyle b}$보다 작다	${\displaystyle 1<2}$ ${\displaystyle 2<2.5}$	${\displaystyle -1<x^{2}\qquad (x\in \mathbb {R} )}$
${\displaystyle a\geq b}$	${\displaystyle a}$가 ${\displaystyle b}$보다 작지 않다	${\displaystyle 2>1}$ ${\displaystyle 2\geq 2}$	${\displaystyle x^{2}\geq 0\qquad (x\in \mathbb {R} )}$
${\displaystyle a\leq b}$	${\displaystyle a}$가 ${\displaystyle b}$보다 크지 않다	${\displaystyle 1\leq 2}$ ${\displaystyle 2\leq 2}$	${\displaystyle 0\leq x^{2}\qquad (x\in \mathbb {R} )}$

절대 부등식과 조건 부등식

절대 부등식(絶對不等式)은 모든 변수의 값에 대하여 항상 성립하는 부등식이다. 조건 부등식(條件不等式)은 특정한 범위의 변수의 값 아래에서만 성립하는 부등식이다. 어떤 부등식이 절대 부등식인 것을 보이는 과정을 그 부등식에 대한 증명이라고 한다. 어떤 부등식이 성립할 조건을 구하는 과정을 그 부등식에 대한 풀이라고 한다.

예를 들어, 실수 부등식

${\displaystyle 3x+3>0}$

이 성립할 필요 충분 조건은

${\displaystyle x>-1}$

이므로, 이는 조건 부등식이다. 실수 부등식

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\geq 2xy}$

가 성립할 필요 충분 조건은

${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$

이므로, 이는 절대 부등식이다.

유명한 부등식

• 코시-슈바르츠 부등식
• 삼각 부등식
• 산술-기하 평균 부등식
• 마르코프 부등식
• 체비쇼프 부등식
• 민코프스키 부등식
• 연립 부등식
• 횔더 부등식

역사

토머스 해리엇(영어: Thomas Harriot)이 기호 ‘>’ 및 ‘<’를 도입하였다.^{[1]:260, §13.3}

같이 보기

• 이항 관계
• 구간
• 부분 순서 집합
• 관계연산자