정사각형 격자

수학에서 정사각형 격자(영어: Square lattice)는 2차원 유클리드 공간에 있는 격자의 한 유형이다. 이는 정수 격자의 2차원 버전으로, ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$로 표기된다.^[1] 이는 대칭군으로 분류되는 다섯 가지 유형의 2차원 격자 중 하나이며,^[2] IUC 표기법에서 대칭군은 p4m,^[3] 콕서터 표기법으로는 [4,4],^[4] 오비폴드 표기법으로는 *442이다.^[5]

정사각형 격자

수직 정사각형 단순	대각선 정사각형 중심

수직 정사각형 테셀레이션. 모든 정사각형의 꼭짓점은 중심과 함께 수직 정사각형 격자를 형성한다. 각 색상에 대해 해당 색상 정사각형의 중심은 수직 정사각형 격자의 선형 스케일 √2배 큰 대각선 정사각형 격자를 형성한다.

격자 이미지의 두 가지 방향은 가장 흔하다. 이들은 수직 정사각형 격자와 대각선 정사각형 격자로 편리하게 지칭될 수 있으며, 후자는 중심 정사각형 격자(영어: centered square lattice)라고도 불린다.^[6] 이들은 45° 각도로 다르다. 이는 체커판의 색상에서 분명히 알 수 있듯이, 정사각형 격자가 두 개의 정사각형 부분 격자로 분할될 수 있다는 사실과 관련이 있다.

대칭성

정사각형 격자의 대칭 범주는 평면의 결정군 p4m이다. 이러한 병진 대칭 격자를 가진 패턴은 격자 자체보다 더 많은 대칭성을 가질 수 없지만, 더 적은 대칭성을 가질 수 있다. 수직 정사각형 격자는 √2배 더 큰 메시 크기를 가진 대각선 정사각형 격자로 볼 수 있으며, 정사각형의 중심이 추가된다. 이에 따라 수직 정사각형 격자의 중심을 추가하면 원래 격자보다 √2배 작은 메시 크기를 가진 대각선 정사각형 격자를 얻는다. 4겹 회전대칭을 가진 패턴은 병진 대칭 격자에 비해 √2배 미세하고 대각선으로 정렬된 4겹 회전 중심의 정사각형 격자를 가진다.

반사 대칭 축에 관해서는 세 가지 가능성이 있다.

• 없음. 이는 평면의 결정군 p4이다.
• 네 방향으로. 이는 평면의 결정군 p4m이다.
• 두 수직 방향으로. 이는 평면의 결정군 p4g이다. 반사 축의 교차점은 4겹 회전 중심의 정사각형 격자와 동일한 미세함과 방향을 가진 정사각형 격자를 형성하며, 이 회전 중심은 반사 축에 의해 형성된 정사각형의 중심에 위치한다.

p4, [4,4]+, (442)	p4g, [4,4+], (4*2)	p4m, [4,4], (*442)
평면의 결정군 p4, 2겹 및 4겹 회전 중심의 원시 셀 내 배열 (p4g 및 p4m에도 적용 가능).   기본 영역	평면의 결정군 p4g. 4겹 회전 중심을 통과하지 않는 두 방향의 반사 축이 있다.   기본 영역	평면의 결정군 p4m. 4겹 회전 중심을 통과하는 네 방향의 반사 축이 있다. 두 방향에서는 반사 축이 p4g의 축과 동일한 방향과 밀도를 가지지만, 이동되어 있다. 다른 두 방향에서는 선형적으로 √2배 더 밀집되어 있다.   기본 영역

결정 등급

정사각형 격자 등급 이름, 쇤플리스 기호, 헤르만-모갱 표기법, 오비폴드 표기법, 콕서터 표기법, 평면의 결정군은 아래 표에 나열되어 있다.

기하학적 등급, 점군				평면의 결정군
쇤플리스	국제	오비폴드	콕서터
C4	4	(44)	[4]+	p4 (442)
D4	4mm	(*44)	[4]	p4m (*442)	p4g (4*2)

같이 보기

• 중심있는 사각수
• 유클리드의 과수원
• 가우스 정수
• 육각형 격자
• 퀸컹스
• 정사각형 테셀레이션