격자 (기하학)

기하학과 군론에서, 실수 좌표 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 격자(lattice)는 다음과 같은 속성을 가진 공간에 있는 무한한 점 집합이다.^[1]

• 격자 내 두 점의 좌표별 덧셈 또는 뺄셈은 다른 격자점을 생성한다.
• 격자점들은 모두 최소 거리 이상으로 분리되어 있다.
• 공간의 모든 점은 격자점으로부터 최대 거리 내에 있다.

평면의 격자

격자의 가장 간단한 예 중 하나는 정사각형 격자이며, 평면에서 두 좌표가 모두 정수인 모든 점 ${\displaystyle (a,b)}$와 그 고차원 아날로그인 정수 격자 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$으로 구성된다.

덧셈과 뺄셈에 대한 닫힘은 격자가 공간 내 점들의 가법군의 부분군이어야 함을 의미한다. 최소 및 최대 거리 요구사항은 격자가 델론 집합(Delone set)이라는 말로 요약될 수 있다.^[2]

더 추상적으로, 격자는 벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$을 선형 생성하는 차원 ${\displaystyle n}$의 자유 아벨 군으로 설명될 수 있다. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 어떤 기저에 대해서든, 기저 벡터의 정수 계수를 가진 모든 선형 결합의 부분군은 격자를 형성하며, 모든 격자는 이러한 방식으로 기저로부터 형성될 수 있다. 격자는 원시세포에 의한 공간의 정규 테셀레이션으로 볼 수 있다.

격자는 순수 수학, 특히 리 대수, 수론 및 군론과 관련하여 많은 중요한 응용 분야를 가지고 있다. 또한 부호 이론, 소규모 상호작용에서 발생하는 연결성을 연구하는 침투 이론의 응용수학에서 나타나며, 여러 격자 문제의 추정되는 계산적 난해성 때문에 암호학에도 사용되고, 물리 과학에서 다양한 방식으로 활용된다. 예를 들어, 재료과학 및 고체물리학에서 격자는 결정 구조의 틀, 즉 특정 경우에 결정 내 원자 또는 분자 위치와 일치하는 규칙적으로 배열된 점들의 3차원 배열과 동의어이다. 더 일반적으로, 격자 모형은 물리학에서 연구되며, 종종 계산물리학 기술을 사용한다.

대칭 고려 사항 및 예시

격자는 n방향에서 이산 병진 대칭의 대칭군이다. 이러한 병진 대칭의 격자를 가진 패턴은 격자 자체보다 대칭성이 더 많을 수 없지만, 더 적을 수는 있다.^[3] 군으로서 (기하학적 구조를 제외하고) 격자는 유한생성 아벨 군이며, 따라서 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$과 동형이다.

예를 들어, 결정 내의 원자 또는 분자 위치와 일치하는 규칙적으로 배열된 점들의 3-차원 배열, 또는 더 일반적으로 병진 대칭 하의 군의 작용 궤도로서의 격자는 병진 격자의 평행이동이다. 즉, 원점을 포함할 필요가 없는 코셋이며, 따라서 이전 의미에서 격자가 아닐 수 있다.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$에서 격자의 간단한 예는 부분군 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$이다. 더 복잡한 예로는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$의 격자인 E8 격자와 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{24}}$의 리치 격자가 있다. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$의 주기 격자는 19세기 수학에서 개발된 타원 함수 연구의 핵심이다. 이는 아벨 함수 이론에서 고차원으로 일반화된다. 루트 격자라고 불리는 격자들은 단순 리 대수 이론에서 중요하다. 예를 들어, E₈ 격자는 같은 이름의 리 대수와 관련이 있다.

격자에 따른 공간 분할

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 격자 ${\displaystyle \Lambda }$는 다음과 같은 형태를 가진다.

${\displaystyle \Lambda ={\biggl \{}\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\mathbin {\bigg \vert } a_{i}\in \mathbb {Z} {\biggr \}},}$

여기서 ${\textstyle \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$의 기저이다. 다른 기저가 동일한 격자를 생성할 수 있지만, 벡터 ${\textstyle v_{i}}$의 그람 행렬의 행렬식의 절댓값은 ${\displaystyle \Lambda }$에 의해 고유하게 결정되며 ${\displaystyle \mathrm {d} (\Lambda )}$로 표시된다. 격자가 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 전체를 동일한 다면체 (격자의 기본 영역으로 알려진 n차원 평행육면체의 복사본)로 분할한다고 생각하면, ${\displaystyle \mathrm {d} (\Lambda )}$는 이 다면체의 n차원 부피와 같다. 이것이 ${\displaystyle \mathrm {d} (\Lambda )}$를 때때로 격자의 공부피라고 부르는 이유이다. 이것이 1과 같으면 격자는 유니모듈러 격자라고 불린다.

볼록 집합의 격자점

민코프스키 정리는 ${\displaystyle \mathrm {d} (\Lambda )}$와 대칭 볼록 집합 ${\displaystyle S}$의 부피를 ${\displaystyle S}$에 포함된 격자점의 수와 연관시킨다. 모든 꼭짓점이 격자의 원소인 다포체에 포함된 격자점의 수는 다포체의 에르하르트 다항식으로 설명된다. 이 다항식의 일부 계수에 대한 공식에는 ${\displaystyle \mathrm {d} (\Lambda )}$도 포함된다.

 다면체의 정수점 문서를 참고하십시오.

계산 격자 문제

 이 부분의 본문은 격자 문제입니다.

격자 문제는 컴퓨터 과학에서 많은 응용 분야를 가지고 있다. 예를 들어, 렌스트라-렌스트라-로바즈 격자 기저 감소 알고리즘 (LLL)은 많은 공개 키 암호 방식의 암호 해독에 사용되었으며,^[4] 많은 격자 기반 암호 방식은 특정 격자 문제가 계산적으로 어렵다는 가정하에 안전하다고 알려져 있다.^[5]

2차원 격자: 자세한 논의

유클리드 평면의 다섯 가지 격자

결정학적 제한 정리에 따라 5가지 2D 격자 유형이 있다. 아래에는 IUC 표기법, 오비폴드 표기법, 콕서터 표기법으로 격자의 평면의 결정군이 주어져 있으며, 대칭 영역을 보여주는 평면의 결정군 다이어그램도 함께 제공된다. 이 병진 대칭 격자를 가진 패턴은 격자 자체보다 대칭성이 더 많을 수 없지만, 더 적을 수는 있다는 점에 유의한다. 하위군 전체 목록이 제공된다. 예를 들어, 아래의 육각형/삼각형 격자는 완전한 6겹 및 절반 3겹 반사 대칭으로 두 번 주어져 있다. 패턴의 대칭군이 n겹 회전을 포함하면, 격자는 짝수 n에 대해 n겹 대칭을, 홀수 n에 대해 2n겹 대칭을 가진다.

cmm, (2*22), [∞,2+,∞]	p4m, (*442), [4,4]	p6m, (*632), [6,3]
마름모 격자 또한 중심 직사각형 격자 이등변 삼각형	정사각형 격자 직각 이등변 삼각형	육각형 격자 (정삼각형 격자)
pmm, *2222, [∞,2,∞]	p2, 2222, [∞,2,∞]+	p3m1, (*333), [3[3]]
직사각형 격자 또한 중심 마름모 격자 직각 삼각형	빗면 격자 부등변 삼각형	정삼각형 격자 (육각형 격자)

주어진 격자를 분류하려면 한 점에서 시작하여 가장 가까운 두 번째 점을 취한다. 같은 선상에 있지 않은 세 번째 점의 경우, 두 점까지의 거리를 고려한다. 이 두 거리 중 더 작은 거리가 가장 작은 점들 중에서, 두 거리 중 더 큰 거리가 가장 작은 점을 선택한다. (동치는 아니지만 격자의 경우 "두 거리 중 더 큰 거리가 가장 작은 점을 선택"하는 것과 같은 결과를 준다.)

다섯 가지 경우는 삼각형이 정삼각형, 직각 이등변 삼각형, 직각 삼각형, 이등변 삼각형, 부등변 삼각형인 경우에 해당한다. 마름모 격자에서 최단 거리는 대각선 또는 마름모의 변일 수 있다. 즉, 처음 두 점을 연결하는 선분은 이등변 삼각형의 같은 변 중 하나일 수도 있고 아닐 수도 있다. 이는 마름모의 더 작은 각도가 60° 미만이거나 60°에서 90° 사이인지에 따라 달라진다.

일반적인 경우는 주기 격자라고 알려져 있다. 벡터 p와 q가 격자를 생성한다면, p와 q 대신 p와 p − q 등을 취할 수도 있다. 일반적으로 2D에서는 정수 a, b, c, d에 대해 ad-bc가 1 또는 -1이 되도록 p + b q와 c p + d q를 취할 수 있다. 이는 p와 q 자체가 다른 두 벡터의 정수 선형 결합임을 보장한다. 각 쌍 p, q는 모두 동일한 넓이, 즉 벡터곱의 크기를 가진 평행사변형을 정의한다. 하나의 평행사변형이 전체 객체를 완전히 정의한다. 추가적인 대칭이 없다면, 이 평행사변형은 기본 평행사변형이다.

주기 격자의 기본 영역.

벡터 p와 q는 복소수로 나타낼 수 있다. 크기와 방향을 제외하고, 한 쌍은 그들의 몫으로 나타낼 수 있다. 기하학적으로 표현하자면, 두 격자점이 0과 1이면 세 번째 격자점의 위치를 고려한다. 동일한 격자를 생성한다는 의미에서의 동등성은 모듈러 군으로 표현된다. ${\displaystyle T:z\mapsto z+1}$은 동일한 격자에서 다른 세 번째 점을 선택하는 것을 나타내고, ${\displaystyle S:z\mapsto -1/z}$는 0-1 기준변으로 다른 삼각형 변을 선택하는 것을 나타내며, 이는 일반적으로 격자의 스케일링을 변경하고 회전시키는 것을 의미한다. 이미지의 각 "곡선 삼각형"은 각 2D 격자 형태에 대한 하나의 복소수를 포함하며, 회색 영역은 위 분류에 해당하는 정식 표현으로, 0과 1은 서로 가장 가까운 두 격자점이다. 경계의 절반만 포함하여 중복을 피한다. 마름모 격자는 경계상의 점들로 표현되며, 육각형 격자는 꼭짓점으로, i는 정사각형 격자를 나타낸다. 직사각형 격자들은 허수축에 위치하고, 나머지 영역은 평행사변형 격자들을 나타내며, 평행사변형의 거울상은 허수축의 거울상으로 표현된다.

3차원 격자

 이 부분의 본문은 브라베 격자입니다.

3D의 14가지 격자 유형을 브라베 격자라고 한다. 이들은 공간군으로 특징지어진다. 특정 유형의 병진 대칭을 가진 3D 패턴은 격자 자체보다 대칭성이 더 많을 수 없지만, 더 적을 수는 있다.

복소 공간의 격자

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$의 격자는 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$의 이산 부분군으로, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$을 실수 벡터 공간으로 생성한다. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$의 실수 벡터 공간으로서의 차원이 ${\displaystyle 2n}$과 같으므로, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$의 격자는 랭크 ${\displaystyle 2n}$의 자유 아벨 군이 될 것이다.

예를 들어, 가우스 정수 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\mathbb {Z} +i\mathbb {Z} }$는 ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {C} ^{1}}$에서 격자를 형성한다. 왜냐하면 ${\displaystyle (1,i)}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$에 대한 ${\displaystyle \mathbb {C} }$의 기저이기 때문이다.

리 군에서

 이 부분의 본문은 격자 (이산 부분군)입니다.

더 일반적으로, 리 군 G의 격자 Γ는 이산 부분군이며, G에서 상속된 하르 측도에 대한 측도(왼쪽 불변 또는 오른쪽 불변—정의는 그 선택과 무관하다)에 대해 몫군 G/Γ가 유한 측도를 가진다. G/Γ가 콤팩트인 경우에는 분명히 그럴 것이지만, 그 충분 조건은 필요 조건이 아니다. 2차원 실수 특수선형군의 모듈러 군의 경우에서 볼 수 있듯이, 이는 격자이지만 몫이 콤팩트하지 않다 (뾰족점이 있다). 리 군에 격자가 존재한다는 일반적인 결과들이 있다.

격자는 G/Γ가 콤팩트하면 균일 또는 코콤팩트하다고 하며, 그렇지 않으면 격자는 비균일하다고 한다.

일반 벡터 공간의 격자

우리는 보통 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$에서 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 격자를 고려하지만, 이 개념은 모든 체에 대한 모든 유한 차원 벡터 공간으로 일반화될 수 있다. 이는 다음과 같이 할 수 있다:

K를 체라고 하고, V를 n차원 K-벡터 공간이라고 하며, ${\displaystyle B=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$을 V의 K-기저라고 하자. 그리고 R을 K에 포함된 환이라고 하자. 그러면 B에 의해 생성되는 V의 R 격자 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$은 다음과 같이 주어진다:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\biggl \{}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}\mathbin {\bigg \vert } a_{i}\in R{\biggr \}}.}$

일반적으로, 다른 기저 B는 다른 격자를 생성한다. 그러나 기저 사이의 전이 행렬 ${\displaystyle T}$가 ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$—R의 일반선형군 (간단히 말해 ${\displaystyle T}$의 모든 원소가 ${\displaystyle R}$에 있고 ${\displaystyle T^{-1}}$의 모든 원소가 ${\displaystyle R}$에 있다는 의미이며, 이는 ${\displaystyle T}$의 행렬식이 ${\displaystyle R^{*}}$—R의 원소 중 곱셈 역원을 가진 원소들의 단위군—에 있다는 것과 동치이다)—에 속하면, T가 두 격자 사이의 동형 사상을 유도하기 때문에 이들 기저에 의해 생성되는 격자들은 동형이다.

이러한 격자의 중요한 경우는 K가 p-진수 체이고 ${\displaystyle T}$가 p-진수 정수인 수론에서 발생한다.

내적 공간인 벡터 공간의 경우, 쌍대 격자는 집합으로 구체적으로 설명될 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle \in R\,{\text{ for all }}\,\mathbf {x} \in {\mathcal {L}}\},}$

또는 동등하게 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle \in R,\ i=1,...,n\}.}$

관련 개념

• 격자의 원시 원소는 격자 내 다른 원소의 양의 정수배가 아닌 원소를 말한다.

같이 보기

• 결정계
• 에르미트 상수
• 격자 기반 암호
• 격자 그래프
• 격자 (모듈)
• 격자 (순서론)
• 말러의 콤팩트성 정리
• 역격자
• 유니모듈러 격자