구성 가능 전체

집합론에서 구성 가능 전체(構成可能全體, 영어: constructible universe)는 재귀적으로 1차 논리로 정의 가능한 집합들로 구성된 모임이다. 구성 가능 전체는 체르멜로-프렝켈 집합론의 추이적 모형을 이루며, 그 속에는 선택 공리 · 일반화 연속체 가설 · 다이아몬드 원리와 같은 여러 명제들이 성립한다. 구성 가능성 공리(構成可能性公理, 영어: axiom of constructibility, 기호 ${\displaystyle V=L}$)는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다.

정의

모임 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 1항 관계 ${\displaystyle {\mathsf {A}}_{1}(-),\dots ,{\mathsf {A}}_{n}(-)}$가 추가된 언어 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}}}$의 모형 ${\displaystyle \langle X,\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}\rangle }$를 생각하자. 이 모형에서 ${\displaystyle {\mathsf {A}}_{i}(x)}$의 해석은 ${\displaystyle x\in A_{i}}$이며, ${\displaystyle x\in y}$의 해석은 표준적이다 (즉, 추이적 모형이다).

그렇다면, 집합 ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle (A_{1},\dots ,A_{n})}$-구성 가능 멱집합(-構成可能冪集合, 영어: ${\displaystyle (A_{1},\dots ,A_{n})}$-constructible power set) ${\displaystyle \operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}(X)}$는 유한 개의 매개 변수를 이용하여 ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}}}$ 언어의 1차 논리 술어로 정의할 수 있는 ${\displaystyle X}$의 부분 집합들의 집합족이다. 즉, 이항 관계 ${\displaystyle \in }$ 및 1항 관계 ${\displaystyle {\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}}$에 대한, ${\displaystyle n+1}$개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 술어 ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {L}}_{\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}}}$ 및 ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in X}$에 대하여, 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Def} (X)=\left\{\{y\in X\colon \langle X,\in ,{\mathsf {A}}_{1},\dots ,{\mathsf {A}}_{n}\rangle \models \phi (y,x_{1},\dots ,x_{n})\}\colon \phi \in {\mathcal {L}}_{\in },\;x_{1},\dots ,x_{n}\in X\right\}}$

정의 가능 멱집합 연산 ${\displaystyle \operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}}$은 집합을 그 멱집합의 부분 집합으로 대응시키며, 따라서 누적 위계를 정의한다.

추이적 집합 ${\displaystyle X}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle \operatorname {Def} _{A_{1},\dots ,A_{n}}}$에 의하여 정의되는 누적 위계를 ${\displaystyle L_{\alpha }[A_{1},\dots ,A_{n}](X)}$로 표기하며, 구성 가능 위계(영어: constructible hierarchy)라고 한다. 흔히 ${\displaystyle X=\varnothing }$일 경우 ${\displaystyle L[A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}](\varnothing )=L}$로 표기하며, ${\displaystyle n=0}$일 경우 흔히 ${\displaystyle L(X)}$로 표기한다. (일부 문헌에서는 ${\displaystyle L(X)}$를 대신 ${\displaystyle L(\{X\}\cup X)}$로 정의한다. 물론, 만약 ${\displaystyle X\in L}$이라면 이는 차이가 없다.) ${\displaystyle L}$의 원소를 구성 가능 집합(構成可能集合, 영어: constructible set)이라고 한다.

${\displaystyle L(-)}$과 ${\displaystyle L[-]}$의 차이에 대하여 가나모리 아키히로는 다음과 같이 적었다.

“	${\displaystyle L(A)}$는 생성 집합으로 모형을 구성하는 대수학적 아이디어를 실현하며, ${\displaystyle L[A]}$는 ${\displaystyle A}$를 술어로 간주하여 모형을 구성하는 아이디어를 실현한다. While ${\displaystyle L(A)}$ realizes the algebraic idea of building up a model starting from a basis of generators, ${\displaystyle L[A]}$ realizes the idea of building up a model using ${\displaystyle A}$ construed as a predicate.	”
	— [1]:235

성질

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자.

일반적으로 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {Def} (X)\subseteq \operatorname {Def} _{A}(X)\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$

물론, 만약 ${\displaystyle A\cap X\in \operatorname {Def} (X)}$라면

${\displaystyle \operatorname {Def} _{A}(X)=\operatorname {Def} (X)}$

이다.

항상

${\displaystyle \{Y\subseteq X\colon |Y|<\aleph _{0}\}\subseteq \operatorname {Def} (X)}$

${\displaystyle \{Y\subseteq X\colon |X\setminus Y|<\aleph _{0}\}\subseteq \operatorname {Def} (X)}$

이다. 특히, 만약 ${\displaystyle X}$가 유한 집합이라면 임의의 ${\displaystyle A}$에 대하여

${\displaystyle \operatorname {Def} (X)=\operatorname {Def} _{A}(X)={\mathcal {P}}(X)}$

이다.

${\displaystyle \operatorname {Def} (X)}$ 및 ${\displaystyle \operatorname {Def} _{A}(X)}$는 유한 합집합 · 유한 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있어, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$의 부분 불 대수를 이룬다.

구성 가능 전체

항상 다음이 성립한다.

${\displaystyle X\subseteq L(X)}$

그러나 ${\displaystyle X\in L(X)}$일 필요는 없으며, ${\displaystyle A\subseteq L[A]}$이거나 ${\displaystyle A\in L[A]}$일 필요는 없다.

각 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여

${\displaystyle L_{\alpha }\subseteq V_{\alpha }}$

${\displaystyle L_{\alpha }\subseteq L_{\alpha }(A)[X]}$

이다. 또한, 만약 ${\displaystyle \alpha }$가 유한하다면 ${\displaystyle L_{\alpha }=V_{\alpha }}$이다.

구성 가능성 공리는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다. 즉, ${\displaystyle V=L}$이라는 명제이다 (${\displaystyle V}$는 폰 노이만 전체). 즉, 구성 가능성 공리에 따르면 임의의 집합 ${\displaystyle S}$에 대하여 ${\displaystyle S\in L_{\alpha }}$인 순서수 ${\displaystyle \alpha }$가 존재한다. 만약 구성 가능성 공리가 성립하고, 또한 순서수 ${\displaystyle \alpha }$에 대하여 ${\displaystyle \alpha =\aleph _{\alpha }}$라면,

${\displaystyle L_{\alpha }=V_{\alpha }}$

이다. (예를 들어, 이는 ${\displaystyle \alpha }$가 도달 불가능한 기수일 경우 성립한다.)

모형 이론적 성질

${\displaystyle L}$은 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이며, 폰 노이만 전체 ${\displaystyle V}$의 내부 모형이다. 특히, ${\displaystyle V}$에서 선택 공리가 성립하지 않아도, ${\displaystyle L}$은 선택 공리를 만족시킨다. 이는 ${\displaystyle L}$은 정의 가능한 정렬 순서가 존재하기 때문이다. 구체적으로, ${\displaystyle L_{\alpha }}$의 정렬 순서가 주어졌다면, ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$의 원소는 ${\displaystyle L_{\alpha }}$의 유한 개의 원소들 및 (사전식으로 정렬되는) 1차 논리 술어로서 명시되므로, 이로서 정렬할 수 있다. 이러한 정렬 순서가 주어졌다면, 선택 공리에서 요구되는 선택 함수는 단순히 이 정렬 순서에 대한 최솟값으로 정의할 수 있다.

또한, ${\displaystyle L}$에서는 다음 명제들이 성립한다. (따라서 체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리는 아래 명제들을 함의한다.)

• 선택 공리
• 일반화 연속체 가설 ${\displaystyle {\mathsf {GCH}}}$
• 구성 가능성 공리 ${\displaystyle V=L}$
• 수슬린 가설의 부정 ${\displaystyle \lnot {\mathsf {SH}}}$
• 모든 화이트헤드 군은 자유 아벨 군
• 모든 집합은 순서수 정의 가능 집합 ${\displaystyle V={\mathsf {HOD}}}$
• 다이아몬드 원리 ${\displaystyle \diamondsuit }$
• ${\displaystyle 0^{\#}}$의 부재 (또한 그보다 더 강한 큰 기수의 부재)
• 르베그 가측 집합이 아닌 해석적 집합의 존재

${\displaystyle L}$은 다음 조건을 만족시키는, 체르멜로-프렝켈 집합론의 가장 작은 표준 모형이다.

• ${\displaystyle V}$의 내부 모형이다.
• 모든 순서수들을 포함한다.

다시 말해, 체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리로부터, 선택 공리를 비롯한 위 명제들을 증명할 수 있다. 특히, 구성 가능성 공리가 큰 기수들의 존재와 모순되기 때문에, 플라톤주의적 수리철학 아래 보통 구성 가능성 공리는 집합론의 공리로 가정되지 않는다. 이에 대하여 퍼넬러피 매디(영어: Penelope Maddy)는 다음과 같이 적었다.

“	[…] ${\displaystyle 0^{\#}}$는 어디서, 왜 ${\displaystyle L}$이 잘못되는지에 대한 자세한 이론을 제공한다. 실버 [${\displaystyle 0^{\#}}$의 존재가 ${\displaystyle V\neq L}$를 함의함을 증명한 수학자] 이전에도 많은 수학자들은 ${\displaystyle V\neq L}$이라고 믿었지만, 실버 이후 이들은 왜 이들이 이러한 믿음을 가지는지 알게 되었다. […] ${\displaystyle 0^{\#}}$ yields a rich explanatory theory of exactly where and why ${\displaystyle L}$ goes wrong. Before Silver, many mathematicians believed that ${\displaystyle V\neq L}$, but after Silver they knew why.	”
	— [2]:506, §IV

마찬가지로, 이에 대하여 가나모리 아키히로와 메나헴 마기도르는 다음과 같이 적었다.

“	따라서, 충분히 큰 기수가 존재한다고 가정하면, ${\displaystyle L}$의 균등 생성에 대한 다양한 강한 내재적 구조적 묘사가 가능하며, 이에 따라 ${\displaystyle L}$은 매우 얇은 내적 모형임을 알 수 있다 — 헐벗은 폐허의 성가대석(聖歌隊席)들이 달라붙은 가냘픈 생명선(生命線, 즉 순서수의 모임)에 불과하다. Thus, in the presence of a suitably large cardinal in the universe, many strong results about the uniform generation of L now follow from this intrinsic structural characterization, and L takes on the character of a very thin inner model indeed, bare ruined choirs appended to the slender life-giving spine which is the class of ordinals.	”
	— [3]:131, §7

역사

1935년 가을에 쿠르트 괴델이 구성 가능 전체 ${\displaystyle L}$을 도입하였으며,^{[4]:270, §4.9:280, §4.10} 이를 통하여 이 선택 공리 및 일반화 연속체 가설이 체르멜로-프렝켈 집합론과 모순되지 않음을 증명하였다. 이 결과는 1938년에 출판되었다.^[5][1]:234

${\displaystyle L(X)}$는 1956년에 허이널 언드라스(헝가리어: Hajnal András, 1931~)가 도입하였으며,^{[6][7][1]:234} ${\displaystyle L[A]}$는 1957년에 아즈리엘 레비가 도입하였다.^{[8][9][1]:235}

이후 1972년에 로널드 비언 젠슨(영어: Ronald Björn Jensen)이 구성 가능 전체의 미세 구조(영어: fine structure)의 이론을 젠슨 위계(영어: Jensen hierarchy)를 통해 정립하였다.^[10]

같이 보기

• 구성 가능성 공리
• 추이적 집합