멱집합

집합론에서 멱집합(冪集合, 영어: power set)은 주어진 집합의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다.

하세 도형으로 표현한 ${\displaystyle \{x,y,z\}}$의 멱집합

정의

집합 ${\displaystyle X}$의 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ 또는 ${\displaystyle 2^{X}}$는 ${\displaystyle X}$의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다. 즉, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}(X)&=\{S|S\subseteq X\}\\&=\{S|\forall s\in S\colon s\in X\}\end{aligned}}}$

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)의 멱집합 공리(영어: axiom of power set)는 다음과 같은 명제이다.

• 임의의 집합 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 집합 ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$가 존재한다.
  • 임의의 집합 ${\displaystyle S}$에 대하여, 만약 (임의의 ${\displaystyle s\in S}$에 대하여 ${\displaystyle s\in X}$)라면, ${\displaystyle S\in {\mathcal {Y}}}$이다.

이는 ZFC의 공리이며, 특히 참이다. 멱집합 공리 및 다른 ZFC 공리들로부터, 임의의 집합 ${\displaystyle X}$의 멱집합의 존재를 다음과 같이 증명할 수 있다. 위 조건을 만족시키는 집합 ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$를 잡자. 그렇다면, 분류 공리꼴에 따라, 다음과 같은 집합을 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {Y}}'=\{S\in {\mathcal {Y}}|\forall s\in S\colon s\in X\}}$

또한, ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$의 선택에 따라, ${\displaystyle {\mathcal {Y}}'}$는 ${\displaystyle X}$의 멱집합을 이룬다. 확장 공리에 따라, 임의의 집합의 멱집합은 유일하다.

성질

크기

집합 ${\displaystyle X}$의 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$의 크기는

${\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|=2^{|X|}}$

이다. 여기서 ${\displaystyle |X|}$는 ${\displaystyle X}$의 크기를 나타내며, ${\displaystyle 2^{|X|}}$는 기수의 거듭제곱을 나타낸다. 만약 ${\displaystyle X}$가 유한 집합일 경우, ${\displaystyle |X|}$는 (${\displaystyle X}$의 원소 개수를 나타내는) 자연수이며, 기수의 거듭제곱 연산은 자연수의 거듭제곱 연산과 일치한다. 특히, 유한 집합의 멱집합은 유한 집합이다.

다음과 같은 부등식이 성립한다.

${\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|=2^{|X|}\geq |X|^{+}>|X|}$

여기서 ${\displaystyle |X|^{+}}$는 ${\displaystyle |X|}$보다 큰 최소의 기수이다 (선택 공리를 가정하면 이는 항상 존재한다). 이를 칸토어 정리라고 한다. 이에 따라, 멱집합 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$의 크기는 항상 원래 집합 ${\displaystyle X}$의 크기보다 크다. 특히, ${\displaystyle X}$가 가산 무한 집합인 경우 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{1}}$이다. 명제 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$는 연속체 가설이라고 부른다. 연속체 가설과 그 부정 모두 ZFC에서 증명할 수 없다.

순서론적 성질

집합 ${\displaystyle X}$의 멱집합은 부분 집합 관계에 대하여 완비 불 대수 ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$를 이룬다. 최소 원소는 공집합 ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {P}}(X)}$, 최대 원소는 원래의 집합 ${\displaystyle X\in {\mathcal {P}}(X)}$, 이음은 합집합 ${\displaystyle \cup }$, 만남은 교집합 ${\displaystyle \cap }$이다. 또한, 임의의 부분 집합 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$의 상한은 합집합

${\displaystyle \bigcup {\mathcal {S}}=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\in {\mathcal {P}}(X)}$

으로 주어지며, 하한은 교집합

${\displaystyle \bigcap {\mathcal {S}}=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}S\in {\mathcal {P}}(X)}$

으로 주어진다 (${\displaystyle \textstyle \bigcap \varnothing =X}$).

함자성

멱집합과 상은 집합의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Set} }$ 위의 함자

${\displaystyle \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle X\to {\mathcal {P}}(X)}$

${\displaystyle (f\colon X\to Y)\mapsto (S\mapsto f(S))}$

를 이룬다. 멱집합과 원상은 함자

${\displaystyle \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle X\to {\mathcal {P}}(X)}$

${\displaystyle (f\colon X\to Y)\mapsto (T\mapsto f^{-1}(T))}$

를 이룬다.

예

공집합의 멱집합은 공집합을 원소로 가지는 한원소 집합이다.

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}}$

한원소 집합 ${\displaystyle \{x\}}$은 공집합과 자기 자신을 부분 집합으로 하므로 그 멱집합은

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\{x\})=\{\varnothing ,\{x\}\}}$

이다.

두원소 집합 ${\displaystyle \{a,b\}}$의 부분 집합들은 정확히 다음과 같다.

• ${\displaystyle \varnothing }$
• ${\displaystyle \{a\}}$
• ${\displaystyle \{b\}}$
• ${\displaystyle \{a,b\}}$

따라서 그 멱집합은

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a,b\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$

이다.

세원소 집합 ${\displaystyle \{a,b,c\}}$의 부분 집합들은 정확히 다음과 같다.

• ${\displaystyle \varnothing }$
• ${\displaystyle \{a\}}$
• ${\displaystyle \{b\}}$
• ${\displaystyle \{c\}}$
• ${\displaystyle \{a,b\}}$
• ${\displaystyle \{a,c\}}$
• ${\displaystyle \{b,c\}}$
• ${\displaystyle \{a,b,c\}}$

따라서 그 멱집합은

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\{a,b,c\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}}$

이다.

같이 보기

• 베트 수

외부 링크

• 수학사랑 Q & A (멱집합)
• “Power set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Axiom of the power set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Power set”. 《nLab》 (영어).
• “Power set”. 《PlanetMath》 (영어).
• “Axiom of power set”. 《PlanetMath》 (영어).
• “Definition: power set”. 《ProofWiki》 (영어).