정지 시간

확률 과정 이론에서, 정지 시간(停止時間, 영어: stopping time 스토핑 타임^[*]) 또는 마르코프 순간(Марков瞬間, 영어: Markov moment^[1])은 어떤 여과 확률 공간과 호환되는 성질을 갖는, 지표 집합의 원소(‘시각’)의 값을 갖는 확률 변수이다. 대략, 정지 시간이 ‘지났는지’ 여부는 (여과 확률 공간에 의하여 주어진) 이 시간 이전에 알려진 정보만으로 확인할 수 있어야 한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 상계 ${\displaystyle \infty \in T}$를 갖는 전순서 집합 ${\displaystyle (T,\leq )}$
• 여과 확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in T}}$

이 데이터의 정지 시간은 다음 조건을 만족시키는 함수

${\displaystyle \tau \colon \Omega \to T}$

이다.

${\displaystyle \forall t\in T\colon \{\omega \in \Omega \colon \tau (\omega )\leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$

다시 말해, ${\displaystyle \tau \leq t}$인 사건이 발생하였는지 여부는 시각 ${\displaystyle t\in T}$에서 알려진 정보 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$만으로 확인할 수 있어야 한다.

정의에 따라, ${\displaystyle T}$에 순서 위상의 보렐 가측 공간 구조를 부여하면, 이는 확률 변수

${\displaystyle \tau \colon (\Omega ,{\mathcal {F}}_{\infty },\Pr )\to T}$

를 정의한다.

확률 과정의 정지 시간이란 그 자연 여과 확률 공간에 대한 정지 시간을 뜻한다.

정지 과정

다음이 주어졌다고 하자.

• 상계 ${\displaystyle \infty \in T}$를 갖는 전순서 집합 ${\displaystyle (T,\leq )}$
• 여과 확률 공간 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in T}}$
• ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$-정지 시간 ${\displaystyle \tau \colon \Omega \to T}$
• 가측 공간 ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$-순응 확률 과정 ${\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in T}}$

그렇다면, ${\displaystyle X}$의 ${\displaystyle \tau }$에 대한 정지 과정(停止過程, 영어: stopped process)은 다음과 같은 순응 확률 과정이다.

${\displaystyle X_{t}^{\tau }\colon \Omega \to S}$

${\displaystyle X_{t}^{\tau }\colon \omega \mapsto X_{\min\{t,\tau (\omega )\}}(\omega )={\begin{cases}X_{t}&t\leq \tau (\omega )\\X_{\tau (\omega )}&t\geq \tau (\omega )\\\end{cases}}}$

이는 흔히

${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{\min\{t,\tau \}}}$

와 같이 표기된다.

예

${\displaystyle 0\in \mathbb {R} }$에서 시작하는 표준 위너 확률 과정 ${\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty ]}}$을 생각하자. ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$가 임의의 실수 보렐 집합이라고 하자. 그렇다면, 확률 변수

${\displaystyle \tau _{S}\colon [0,\infty ]}$

${\displaystyle \tau _{S}(t)=\inf\{t\in T\colon W_{t}(\omega )\in S\}}$

를 정의할 수 있다. 이는 ${\displaystyle W}$의 자연 여과 확률 공간에 대한 정지 시간을 이룬다.