제곱 적분 가능 함수

수학에서 제곱 적분 가능 함수(square-integrable function)는 이차 적분 가능 함수 또는 ${\displaystyle L^{2}}$ 함수 또는 제곱 합 가능 함수라고도 불리며,^[1] 절댓값의 제곱의 적분이 유한한 실수 또는 복소수 값을 갖는 가측 함수이다. 따라서 실수 직선 ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$에서의 제곱 적분 가능성은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} {\text{ square integrable}}\quad \iff \quad \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$

${\displaystyle a\leq b}$에 대해 ${\displaystyle [a,b]}$와 같은 유계 구간에서의 이차 적분 가능성을 언급할 수도 있다.^[2]

${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {C} {\text{ square integrable on }}[a,b]\quad \iff \quad \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,\mathrm {d} x<\infty }$

동등한 정의는 함수 자체의 제곱(절댓값이 아닌)이 르베그 적분 가능하다는 것이다. 이것이 참이 되려면 실수 부분의 양수 및 음수 부분의 적분이 모두 유한해야 하며, 허수 부분도 마찬가지다.

( 르베그 측도에 대한) 제곱 적분 가능 함수의 동치류로 구성된 벡터 공간은 ${\displaystyle p=2}$인 ${\displaystyle L^{p}}$ 공간을 형성한다. ${\displaystyle L^{p}}$ 공간 중에서 제곱 적분 가능 함수 클래스는 내적과 호환된다는 점에서 독특하며, 이를 통해 각도 및 직교성과 같은 개념을 정의할 수 있다. 이 내적과 함께 제곱 적분 가능 함수는 힐베르트 공간을 형성하는데, 모든 ${\displaystyle L^{p}}$ 공간은 각 ${\displaystyle p}$-노름에 대해 완비 거리 공간이기 때문이다.

종종 이 용어는 특정 함수를 지칭하기보다는 거의 어디서나 동일한 함수의 동치류를 지칭하는 데 사용된다.

속성

제곱 적분 가능 함수(여기서 "함수"는 거의 어디서나 동일한 함수의 동치류를 의미한다)는 다음으로 주어지는 내적을 갖는 내적 공간을 형성한다. $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{A}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x,}$$ 여기서

• ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$는 제곱 적분 가능 함수이다.
• ${\displaystyle {\overline {f(x)}}}$는 ${\displaystyle f(x)}$의 켤레 복소수이다.
• ${\displaystyle A}$는 적분하는 집합이다. 첫 번째 정의(위 도입부에서 주어진)에서는 ${\displaystyle A}$가 ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$이고, 두 번째 정의에서는 ${\displaystyle A}$가 ${\displaystyle [a,b]}$이다.

${\displaystyle |a|^{2}=a\cdot {\overline {a}}}$이므로, 제곱 적분 가능성은 다음과 같이 말하는 것과 같다. $${\displaystyle \langle f,f\rangle <\infty .\,}$$

제곱 적분 가능 함수는 위에 정의된 내적에 의해 유도된 거리 공간에서 완비 거리 공간을 형성한다는 것을 보일 수 있다. 완비 거리 공간은 코시 공간이라고도 불리는데, 이러한 거리 공간의 수열은 코시 열일 때만 수렴하기 때문이다. 노름에 의해 유도된 거리 공간에서 완비인 공간은 바나흐 공간이다. 따라서 제곱 적분 가능 함수 공간은 노름에 의해 유도된 거리 공간에서 바나흐 공간이며, 이 노름은 다시 내적에 의해 유도된다. 내적의 추가 속성을 가지고 있으므로, 이 공간은 내적에 의해 유도된 거리 공간에서 완비이므로 특히 힐베르트 공간이다.

이 내적 공간은 관례적으로 ${\displaystyle \left(L_{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}\right)}$로 표시되며 여러 번 ${\displaystyle L_{2}}$로 축약된다. ${\displaystyle L_{2}}$는 제곱 적분 가능 함수의 집합을 나타내지만, 이 표기법으로 거리, 노름 또는 내적의 선택은 지정되지 않는다. 집합은 특정 내적 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{2}}$와 함께 내적 공간을 지정한다.

제곱 적분 가능 함수 공간은 ${\displaystyle p=2}$인 ${\displaystyle L^{p}}$ 공간이다.

예시

${\displaystyle (0,1)}$에서 정의된 함수 ${\displaystyle {\tfrac {1}{x^{n}}}}$은 ${\displaystyle n<{\tfrac {1}{2}}}$일 때는 ${\displaystyle L^{2}}$에 속하지만 ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}}$일 때는 속하지 않는다.^[1] ${\displaystyle [1,\infty )}$에서 정의된 함수 ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$는 제곱 적분 가능하다.^[3]

${\displaystyle [0,1]}$에서 정의된 유계 함수는 제곱 적분 가능하다. 이 함수들은 어떤 ${\displaystyle p}$ 값에 대해서도 ${\displaystyle L^{p}}$에 속한다.^[3]

비-예시

${\displaystyle [0,1]}$에서 정의된 함수 ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ (여기서 ${\displaystyle 0}$에서의 값은 임의적이다). 또한 이 함수는 ${\displaystyle [1,\infty )}$의 어떤 ${\displaystyle p}$ 값에 대해서도 ${\displaystyle L^{p}}$에 속하지 않는다.^[3]

같이 보기

• 내적 공간
• ${\displaystyle L^{p}}$ 공간