동형 정리

추상대수학에서 동형 정리(同型定理, 영어: isomorphism theorem)는 준동형과 부분 대수, 합동 관계 사이의 관계를 나타내는 3개의 정리다.^[1]:§II.6 이는 보편 대수학의 정리로, 임의의 대수 구조에 대하여 정의할 수 있다.

정의

대수 구조 ${\displaystyle (S,F)}$는 집합 ${\displaystyle S}$와, ${\displaystyle S^{\times n}\to S}$ 꼴의 함수들의 집합 ${\displaystyle F}$의 순서쌍이다. 같은 연산들을 갖는 두 대수의 준동형은 연산들을 보존시키는 함수이다.

제1 동형 정리

대수 준동형 ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$에 대하여, 다음 명제들이 성립한다.

• ${\displaystyle \phi (A)\subset B}$는 ${\displaystyle B}$의 부분대수이다.
• ${\displaystyle a\sim b\iff \phi (a)=\phi (b)}$는 ${\displaystyle A}$ 위의 합동 관계이다.
• ${\displaystyle \phi /\sim \colon A/\sim \to \phi (A)}$는 대수의 동형 사상이다.

제2 동형 정리

대수 ${\displaystyle (A,F)}$ 및 부분대수 ${\displaystyle (B,F|_{B})\subset (A,F)}$ 및 ${\displaystyle A}$ 위의 합동 관계 ${\displaystyle \sim }$가 주어졌다고 하면, 다음 명제들이 성립한다.

• ${\displaystyle \sim |_{B}}$는 ${\displaystyle B}$ 위의 합동 관계이다.
• ${\displaystyle B^{\sim }=\{a\in A|[a]\cap B\neq \varnothing \}}$가 ${\displaystyle B}$와 겹치는 ${\displaystyle \sim }$-동치류들의 원소들의 집합이라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle B^{\sim }}$은 ${\displaystyle A}$의 부분대수이다.
• ${\displaystyle B^{\sim }/\sim |_{B^{\sim }}}$은 ${\displaystyle B/\sim |_{B}}$와 동형이다.

제3 동형 정리

대수 ${\displaystyle A}$ 위에 두 합동 관계 ${\displaystyle \sim _{1},\sim _{2}}$가 주어졌으며, ${\displaystyle a\sim _{1}b}$라면 ${\displaystyle a\sim _{2}b}$이라고 하자. 즉, ${\displaystyle \sim _{1}}$이 ${\displaystyle \sim _{2}}$보다 더 고른 동치 관계라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.

• ${\displaystyle A/\sim _{1}}$ 위의 이항 관계 ${\displaystyle \sim _{2}/\sim _{1}}$를 ${\displaystyle [a]\sim _{2}/\sim _{1}[b]\iff a\sim _{2}b}$로 정의하자. 그렇다면 ${\displaystyle \sim _{2}/\sim _{1}}$는 ${\displaystyle A/\sim _{1}}$ 위의 합동 관계이다.
• ${\displaystyle (A/\sim _{1})/(\sim _{2}/\sim _{1})}$는 ${\displaystyle A/\sim _{2}}$과 동형이다.

예

위 3개의 동형 정리는 보편 대수학에 따라, 임의의 대수 구조에 적용할 수 있다. 대표적인 예는 다음과 같다.

보편 대수	군	환	가군
대수 구조 ${\displaystyle A}$	군 ${\displaystyle G}$	환 ${\displaystyle R}$	${\displaystyle R}$-왼쪽 가군 ${\displaystyle M}$
합동 관계 ${\displaystyle \sim }$	정규 부분군 ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$	아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R}$	부분가군 ${\displaystyle N\subset M}$
부분 대수 ${\displaystyle B\subset A}$	부분군 ${\displaystyle H\leq G}$	부분환 ${\displaystyle S\subset R}$	부분가군 ${\displaystyle P\subset M}$
${\displaystyle B^{\sim }\subset A}$	${\displaystyle HN\leq G}$	${\displaystyle S+{\mathfrak {a}}\subset R}$	${\displaystyle N+P\subset M}$
${\displaystyle \sim |_{B}}$	${\displaystyle H\cap N\vartriangleleft H}$	${\displaystyle S\cap {\mathfrak {a}}\subset S}$	${\displaystyle N\cap P\subset N}$
${\displaystyle \sim |_{B^{\sim }}}$	${\displaystyle N}$	${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$	${\displaystyle P}$
${\displaystyle \sim _{1}}$이 ${\displaystyle \sim _{2}}$보다 더 고름	${\displaystyle N_{1}\subset N_{2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}}$	${\displaystyle N_{1}\subset N_{2}}$
${\displaystyle \sim _{2}/\sim _{1}}$	${\displaystyle N_{2}/N_{1}\vartriangleleft G/N_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{2}/{\mathfrak {a}}_{1}\subset R/{\mathfrak {a}}_{1}}$	${\displaystyle N_{2}/N_{1}\subset M/N_{1}}$

군 동형 정리

제1 동형 정리

군 준동형 ${\displaystyle \phi \colon G\to L}$에 대하여,

• ${\displaystyle \phi (G)\leq L}$
• ${\displaystyle \ker \phi \vartriangleleft G}$
• ${\displaystyle G/\ker \phi \cong \phi (G)}$

제2 동형 정리

군 ${\displaystyle G}$ 및 부분군 ${\displaystyle H\leq G}$ 및 정규 부분군 ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$에 대하여,

• ${\displaystyle H\cap N\vartriangleleft H}$
• ${\displaystyle HN\leq G}$
• ${\displaystyle (HN)/N\cong H/(H\cap N)}$

제3 동형 정리

군 ${\displaystyle G}$ 및 정규 부분군 ${\displaystyle N_{1}\leq N_{2}\vartriangleleft G}$에 대하여,

• ${\displaystyle N_{2}/N_{1}\vartriangleleft G/N_{1}}$
• ${\displaystyle (G/N_{1})/(N_{2}/N_{1})\cong G/N_{2}}$

환 동형 정리

제1 동형 정리

환 준동형 ${\displaystyle \phi \colon R\to S}$에 대하여,

• ${\displaystyle \phi (R)}$는 ${\displaystyle S}$의 부분환이다.
• ${\displaystyle \ker \phi }$는 ${\displaystyle R}$의 아이디얼이다.
• ${\displaystyle R/\ker \phi \cong \phi (R)}$

제2 동형 정리

환 ${\displaystyle R}$ 및 부분환 ${\displaystyle S\subset R}$ 및 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R}$에 대하여,

• ${\displaystyle S\cap {\mathfrak {a}}}$는 ${\displaystyle S}$의 아이디얼이다.
• ${\displaystyle S+{\mathfrak {a}}}$는 ${\displaystyle R}$의 부분환이다.
• ${\displaystyle (S+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}\cong S/(S\cap {\mathfrak {a}})}$

제3 동형 정리

환 ${\displaystyle R}$ 및 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1}\subset {\mathfrak {a}}_{2}\subset R}$에 대하여,

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{2}/{\mathfrak {a}}_{1}}$은 ${\displaystyle R/{\mathfrak {a}}_{1}}$의 아이디얼이다.
• ${\displaystyle (R/{\mathfrak {a}}_{1})/({\mathfrak {a}}_{2}/{\mathfrak {a}}_{1})\cong R/{\mathfrak {a}}_{2}}$

가군 동형 정리

모든 가군은 주어진 환 ${\displaystyle R}$에 대한 왼쪽 가군이다.

제1 동형 정리

가군 준동형 ${\displaystyle \phi \colon M\to N}$에 대하여,

• ${\displaystyle \phi (M)}$은 ${\displaystyle N}$의 부분가군이다.
• ${\displaystyle \ker \phi }$는 ${\displaystyle M}$의 부분가군이다.
• ${\displaystyle M/\ker \phi \cong \phi (M)}$

제2 동형 정리

가군 ${\displaystyle M}$의 부분가군 ${\displaystyle N,P\subset M}$에 대하여,

• ${\displaystyle N\cap P}$는 ${\displaystyle N}$의 부분가군이다.
• ${\displaystyle (N+P)/P}$는 ${\displaystyle M/N}$의 부분가군이다.
  • 따라서, ${\displaystyle N+P}$는 ${\displaystyle M}$의 부분가군이다.
• ${\displaystyle (N+P)/P\cong N/(N\cap P)}$

제3 동형 정리

가군 ${\displaystyle M}$의 부분가군 ${\displaystyle N_{1}\subset N_{2}\subset M}$에 대하여,

• ${\displaystyle N_{2}/N_{1}}$은 ${\displaystyle M/N_{1}}$의 부분가군이다.
• ${\displaystyle (M/N_{1})/(N_{2}/N_{1})\cong M/N_{2}}$

역사

에미 뇌터가 1927년에 증명하였다.^[2][3]