준타원형 미분 연산자

편미분 방정식 이론에서, 준타원형 미분 연산자(準楕圓型微分演算子, 영어: hypoelliptic differential operator)는 매끄러운 함수의 원상이 매끄러운 함수인 미분 연산자이다. 매끄러운 계수의 모든 타원형 미분 연산자는 준타원형이지만, 타원형이 아닌 준타원형 미분 연산자가 존재한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 ${\displaystyle U}$
• 매끄러운 벡터 다발 ${\displaystyle E\twoheadrightarrow U}$
• 미분 연산자 ${\displaystyle D\colon {\mathcal {C}}^{\infty }(U,E)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(U,E)}$

만약 임의의

• 열린집합 ${\displaystyle V\subseteq U}$
• 분포 ${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(V,E)}$

에 대하여,

${\displaystyle Du\in {\mathcal {C}}^{\infty }(V,E)\implies u\in {\mathcal {C}}^{\infty }(V,E)}$

이라면, ${\displaystyle D}$를 준타원형 미분 연산자라고 한다.

성질

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ 계수의 모든 타원형 미분 연산자는 준타원형 미분 연산자이다. 특히, 리만 다양체 위의 라플라스 연산자는 매끄러운 계수의 타원형 미분 연산자이므로 준타원형 미분 연산자이다.

예

매끄러운 다양체

${\displaystyle U=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}=\{(t,x^{1},x^{2},\dotsc ,x^{n})\colon t,x^{1},x^{2},\dotsc ,x^{n}\in \mathbb {R} \}}$

위의 열방정식 미분 연산자

${\displaystyle D={\frac {\partial }{\partial t}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{(\partial x^{i})^{2}}}}$

는 준타원형 미분 연산자이지만, 타원형 미분 연산자가 아니다. (주표상이 ${\displaystyle \operatorname {diag} (0,-1,-1,\dotsc ,-1)}$이므로, 음의 정부호가 아니다.)

반면, 같은 매끄러운 다양체 위의 파동 방정식 미분 연산자

${\displaystyle \square ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{(\partial x^{i})^{2}}}}$

는 타원형 미분 연산자도, 준타원형 미분 연산자도 아니다.

참고 문헌

• “What is … hypoellipticity?”. 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 65 (4): 418–419. 2018년 4월. doi:10.1090/noti1670.
• Street, Brian (2018년 4월). “What else about … hypoellipticity?”. 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 65 (4): 418–419. doi:10.1090/noti1664.