다르부 함수

미적분학과 위상수학에서 다르부 함수(영어: Darboux’s function)는 연결 집합의 상이 연결 집합인 함수이다.^[1][2][3][4] 실수에서 실수로 가는 함수의 경우 이는 구간의 상이 구간인 함수와 동치이다. 다르부 정리(영어: Darboux’s theorem) 또는 다르부 중간값 정리(영어: Darboux’s intermediate value theorem)에 따르면, 실수 구간에서 실수로 가는 미분 가능 함수의 도함수는 항상 다르부 함수이다. 이는 중간값 정리의 한 가지 일반화이다.

정의

두 위상 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시키면, 다르부 함수라고 한다.

• 연결 집합의 상은 연결 집합이다. 즉, 임의의 연결 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle f(A)\subseteq Y}$는 연결 집합이다.

실수 집합의 연결 부분 집합은 단순히 구간이다. 따라서, 구간 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ 위에 정의된 함수 ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 다르부 함수이다.
• 구간의 상은 구간이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle a,b\in I}$ 및 ${\displaystyle y\in (f(a),f(b))\cup (f(b),f(a))}$에 대하여, ${\displaystyle f(x)=y}$인 ${\displaystyle x\in (a,b)}$가 존재한다.

어디서나 전사 함수

기수 ${\displaystyle \kappa }$가 주어졌다고 하자. 위상 공간 ${\displaystyle X}$과 집합 ${\displaystyle Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시키면, ${\displaystyle \kappa }$-어디서나 전사 함수(영어: ${\displaystyle \kappa }$-everywhere surjective function)라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle f^{-1}(y)}$는 ${\displaystyle \kappa }$-조밀 집합이다 (즉, 임의의 공집합이 아닌 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle |U\cap f^{-1}(y)|\geq \kappa }$).

1-어디서나 전사 함수를 어디서나 전사 함수(영어: everywhere surjective function)라고 한다. 즉, 임의의 ${\displaystyle y\in Y}$에 대하여, ${\displaystyle f^{-1}(y)}$는 조밀 집합이어야 한다. 이는 임의의 공집합이 아닌 열린집합 ${\displaystyle U\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle f(U)=Y}$인 조건과 동치이다. 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 ${\displaystyle |X|}$-어디서나 전사 함수 ${\displaystyle X\to X}$를 강하게 어디서나 전사 함수(영어: strongly everywhere surjective function)라고 한다.

위상 공간 ${\displaystyle X}$과 집합 ${\displaystyle Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시키면, 완전 어디서나 전사 함수(영어: perfectly everywhere surjective function)라고 한다.

• 임의의 공집합이 아닌 완전 집합 ${\displaystyle P\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle f(P)=Y}$

둘레 연속 함수

두 위상 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시키면, 둘레 연속 함수(영어: peripherally continouous function)라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x\in X}$ 및 열린 근방 ${\displaystyle U\ni x}$, ${\displaystyle V\ni f(x)}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {cl} W\subseteq U}$, ${\displaystyle f(\partial W)\subset V}$인 열린 근방 ${\displaystyle W\ni x}$가 존재한다.

성질

함의 관계

중간값 정리에 따르면, 모든 연속 함수는 다르부 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 어디서나 전사 함수 ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$는 항상 다르부 함수이지만, 연속점을 갖지 않는다.

함수 ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$에 대하여, 다음 함의 관계가 성립한다.

완전 어디서나 전사 함수 ⇒ 강하게 어디서나 전사 함수 ⇒ 어디서나 전사 함수 ⇒ 다르부 함수 ⇒ 조밀 그래프를 갖는 함수 ⇒ 둘레 연속 함수

각 함의의 역은 성립하지 않는다.

다르부 정리

다르부 정리에 따르면, 임의의 폐구간 ${\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} }$ 및 미분 가능 함수 ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$에 대하여, 도함수 ${\displaystyle f'\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$는 다르부 함수이다. 특히, 임의의 ${\displaystyle y\in (f'(a),f'(b))\cup (f'(b),f'(a))}$에 대하여,

${\displaystyle f'(x)=y}$

인 ${\displaystyle x\in (a,b)}$가 존재한다.^{[5]:224–225}

다르부 정리의 증명:

편의상 ${\displaystyle f'(a)<y<f'(b)}$라고 하자.

${\displaystyle g\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle g\colon t\mapsto yt-f(t)}$

라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle g}$는 연속 함수이며, 어떤 ${\displaystyle x\in [a,b]}$에서 최댓값 ${\displaystyle g(x)}$를 갖는다 (최대 최소 정리).

이제, ${\displaystyle x=a}$라고 가정하자. 그렇다면 ${\displaystyle g(a)}$가 최댓값이므로, 임의의 ${\displaystyle t\in [a,b]}$에 대하여 ${\displaystyle 0\geq (g(t)-g(a))/(t-a)}$이다. 따라서 ${\displaystyle 0\geq g'(a)=y-f'(a)}$이며, 이는 모순이다. 즉, ${\displaystyle x\neq a}$이다. 마찬가지로 ${\displaystyle x\neq b}$임을 보일 수 있다. 이에 따라 ${\displaystyle x\in (a,b)}$이며,

${\displaystyle 0=g'(x)=y-f'(x)}$

이다 (페르마 임계점 정리). 즉, ${\displaystyle f'(x)=y}$이다.

충분히 많은 역의 반례의 존재

모든 0이 아닌 원소가 어디서나 전사 함수 ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$인 ${\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}$차원 실수 벡터 공간이 존재한다. 즉, 중간값 정리의 역의 반례는 ‘충분히 많이’ 존재한다. 보다 일반적으로, 체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$의 부분 집합 ${\displaystyle M\subset V}$에 대하여, ${\displaystyle \lambda (M)}$이 ${\displaystyle W\subset M\cup \{0\}}$인 ${\displaystyle \kappa }$차원 부분 벡터 공간 ${\displaystyle W\subset V}$가 존재하지 않는 가장 작은 기수 ${\displaystyle \kappa }$라고 하자. (특히, ${\displaystyle \lambda (M)}$이 따름 기수 ${\displaystyle \kappa ^{+}}$일 경우, ${\displaystyle \kappa }$는 벡터 공간 ${\displaystyle W\subset M\cup \{0\}}$의 최대 차원이다.) 그렇다면, ${\displaystyle V={\mathbb {R} }^{\mathbb {R} }}$에 대하여 다음 결과들이 있다.

${\displaystyle M}$	${\displaystyle \lambda (M)}$
완전 어디서나 전사 함수	${\displaystyle (2^{2^{\aleph _{0}}})^{+}}$[3]:83, Table 1
완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수	${\displaystyle (2^{2^{\aleph _{0}}})^{+}}$[3]:83, Table 1
강하게 어디서나 전사 함수가 아닌 어디서나 전사 함수	${\displaystyle (2^{2^{\aleph _{0}}})^{+}}$[3]:83, Table 1
어디서나 전사 함수가 아닌 다르부 함수	${\displaystyle (2^{2^{\aleph _{0}}})^{+}}$[3]:83, Table 1
다르부 함수가 아닌 둘레 연속 함수	${\displaystyle (2^{2^{\aleph _{0}}})^{+}}$[3]:83, Table 1
전사 연속 함수	${\displaystyle (2^{\aleph _{0}})^{+}}$[4]
단사 함수	${\displaystyle 1^{+}}$[3]:83, Theorem 2.17

예

함수

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}$

는 다르부 함수이지만 0에서 연속이 아니며, 0이 아닌 모든 점에서 연속이다. 다르부 함수는 연속점을 전혀 가지지 않을 수도 있으므로, 이는 중간값 정리의 역의 비교적 ‘약한’ 반례이다.

임의의 무한 기수 ${\displaystyle \kappa }$ 및 크기 ${\displaystyle \kappa }$의 위상 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]

• 어디서나 전사 함수 ${\displaystyle X\to X}$가 존재한다.
• 임의의 공집합이 아닌 열린집합의 크기가 ${\displaystyle \kappa }$이며, 또한 ${\displaystyle \kappa }$개의 서로소 조밀 집합을 갖는다.

구체적으로, ${\displaystyle \kappa }$개의 서로소 조밀 집합들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$와 전단사 함수 ${\displaystyle \phi \colon {\mathcal {F}}\to X}$가 주어졌을 때, 함수

${\displaystyle f\colon X\to X}$

${\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\phi (D)&x\in D\in {\mathcal {F}}\\0&x\not \in D\forall D\in {\mathcal {F}}\end{cases}}}$

는 어디서나 전사 함수이다. 특히, ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$의 경우 ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbb {R} /\mathbb {Q} }$로 취할 수 있다.

강하게 어디서나 전사 함수가 아닌 어디서나 전사 함수

콘웨이 13진 함수(영어: Conway base-13 function) ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$는 다음과 같다.

• 만약 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$의 13진법 전개가 ${\displaystyle x=a_{1}a_{2}\cdots a_{p}.b_{1}b_{2}\cdots b_{q}\mathrm {A} c_{1}c_{2}\dots c_{r}\mathrm {C} d_{1}d_{2}d_{3}\cdots _{(13)}}$ (${\displaystyle a_{i},b_{i}\in \{0,1,\dots ,9,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} \}}$, ${\displaystyle c_{i},d_{i}\in \{0,1,\dots ,9\}}$) 꼴이라면, ${\displaystyle f(x)}$의 십진법 전개는 ${\displaystyle f(x)=c_{1}c_{2}\cdots c_{r}.d_{1}d_{2}d_{3}\cdots }$이다.
• 만약 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$의 13진법 전개가 ${\displaystyle x=a_{1}a_{2}\cdots a_{p}.b_{1}b_{2}\cdots b_{q}\mathrm {B} c_{1}c_{2}\dots c_{r}\mathrm {C} d_{1}d_{2}d_{3}\cdots _{(13)}}$ (${\displaystyle a_{i},b_{i}\in \{0,1,\dots ,9,\mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {C} \}}$, ${\displaystyle c_{i},d_{i}\in \{0,1,\dots ,9\}}$) 꼴이라면, ${\displaystyle f(x)}$의 십진법 전개는 ${\displaystyle f(x)=-c_{1}c_{2}\cdots c_{r}.d_{1}d_{2}d_{3}\cdots }$이다.
• 만약 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$의 13진법 전개가 위 두 가지 형태가 아니라면, ${\displaystyle f(x)=0}$이다.

콘웨이 13진 함수는 다음 성질들을 만족시킨다.

• 어디서나 전사 함수이다. (따라서 다르부 함수이며, 연속점을 갖지 않는다.)^[1]
• 강하게 어디서나 전사 함수가 아니다. (사실 임의의 ${\displaystyle y\neq 0}$의 원상은 가산 무한 집합이다.)
• 주기 1의 주기 함수이다.^[1]
• 유리수의 상은 유리수이다.^[1]

완전 어디서나 전사 함수가 아닌 강하게 어디서나 전사 함수

끝점이 유리수인 모든 개구간의 집합 ${\displaystyle \{(a_{i},b_{i})\colon i\in \mathbb {N} \}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가산 개의 서로소 칸토어 집합

${\displaystyle C_{0}\subset (a_{0},b_{0})}$

${\displaystyle C_{1}\subset (a_{1},b_{1})\setminus C_{0}}$

${\displaystyle C_{2}\subset (a_{2},b_{2})\setminus (C_{0}\cup C_{1})}$

${\displaystyle \vdots }$

이 존재한다. (이는 칸토어 집합의 르베그 측도가 0이기 때문이다.) 칸토어 집합은 곱공간

${\displaystyle \{0,1\}^{\aleph _{0}}\cong \{0,1\}^{\aleph _{0}}\times \{0,1\}^{\aleph _{0}}=\bigcup _{j\in \{0,1\}^{\aleph _{0}}}(\{0,1\}^{\aleph _{0}}\times \{j\})}$

과 위상 동형이므로, 각 ${\displaystyle C_{i}}$는 칸토어 집합과 위상 동형인 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$개의 서로소 집합들 ${\displaystyle C_{ij}}$의 합집합이다.

${\displaystyle C_{i}=\bigcup _{j<2^{\aleph _{0}}}C_{ij}}$

임의의 전단사 함수 ${\displaystyle \phi _{ij}\colon C_{ij}\to \mathbb {R} }$들을 취하자. 다음 함수를 정의하자.

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}\phi _{ij}(x)&x\in C_{ij}\\0&x\not \in C_{0}\cup C_{1}\cup \cdots \end{cases}}}$

그렇다면, ${\displaystyle f}$는 거의 어디서나 0이며, 강하게 어디서나 전사 함수이지만, 완전 어디서나 전사 함수가 아니다 (이는 칸토어 집합 ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} \setminus (C_{0}\cup C_{1}\cup \cdots )}$이 존재하기 때문이다).^{[2]:490, Example 2.8}

완전 어디서나 전사 함수

실수의 (공집합이 아닌) 완전 집합의 집합을 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$로 표기하자. 또한,

${\displaystyle {\mathcal {A}}\times \mathbb {R} =\{(P_{i},y_{i})\colon i<2^{\aleph _{0}}\}}$

이라고 하자. (실수의 닫힌집합의 수는 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$이다. 표준적인 칸토어 집합을 평행 이동하여 얻는 집합은 모두 완전 집합이다. 따라서, ${\displaystyle |{\mathcal {A}}|=2^{\aleph _{0}}}$이다.) 실수의 완전 집합의 크기는 항상 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$이므로, 초한 귀납법을 통해 다음과 같은 실수 집합 ${\displaystyle \{x_{i}\colon i<2^{\aleph _{0}}\}\subset \mathbb {R} }$을 취할 수 있다.

${\displaystyle x_{i}\in P_{i}\setminus \{x_{j}\colon j<i\}}$

이제,

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f\colon x\mapsto {\begin{cases}y_{i}&x=x_{i}\\0&x\neq x_{i}\forall i<2^{\aleph _{0}}\end{cases}}}$

라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle f}$는 완전 어디서나 전사 함수이다.^{[2]:492, Example 2.12}

역사

일부 오래된 서적에서는 구간의 상이 구간인 성질이 연속 함수 ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$의 정의로 잘못 쓰였다. (사실 이는 연속 함수보다 훨씬 약한 성질이다.) 이러한 오류는 장 가스통 다르부가 1875년에 지적하였다.^[1]