지수 분포

지수분포(指數分布, 영어: exponential distribution)는 연속 확률 분포의 일종이다. 사건이 서로 독립적일 때, 일정 시간 동안 발생하는 사건의 횟수가 푸아송 분포를 따른다면, 다음 사건이 일어날 때까지 대기 시간은 지수분포를 따른다.^[1] 이는 기하분포와 유사한 측면이 있다.

지수 분포

확률 밀도 함수
누적 분포 함수
기호	${\displaystyle {\mbox{Exponential(}}1/\lambda {\mbox{) or Exp(}}1/\lambda {\mbox{)}}}$
매개변수	${\displaystyle \lambda >0}$: 빈도
지지집합	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
확률 밀도	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x}}$
누적 분포	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x}}$
기댓값	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$
중앙값	${\displaystyle {\frac {\ln 2}{\lambda }}}$
최빈값	${\displaystyle 0}$
분산	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$
비대칭도	${\displaystyle 2}$
첨도	${\displaystyle 6}$
엔트로피	${\displaystyle 1-\ln \lambda }$
적률생성함수	${\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}}$
특성함수	${\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}}$

특징

확률 밀도 함수

지수분포의 확률 밀도 함수는

${\displaystyle f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

로 정의된다. 단위 계단 함수를 이용해 정의하면,

${\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}H(x)}$

가 된다. 여기서 λ은 빈도를 나타내는 모수이며, 확률변수 X는 [0, ∞)에서 정의된다.

누적 분포 함수

지수분포의 누적 분포 함수는

${\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$

혹은

${\displaystyle F(x;\lambda )=(1-e^{-\lambda x})H(x)}$

이다.

성질

기댓값과 분산

확률변수 X가 빈도 λ를 모수로 갖는 지수분포를 따른다면, 기댓값은

${\displaystyle {\mbox{E(}}X{\mbox{)}}={\frac {1}{\lambda }}}$

으로 단위 시간당 사건이 λ회 발생한다면, 사건 사이에 평균적으로 1/λ시간만큼 기다릴 것이라는 것을 의미한다. 분산은

${\displaystyle {\mbox{Var(}}X{\mbox{)}}={\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$

이다.