특성함수 (확률론)

확률변수의 특성함수(特性函數, 영어: characteristic function)는 각각의 확률 분포와 일대일 대응이 되는 함수로, 특성함수를 이용하여 확률분포의 기댓값이나 분산 등의 값을 알아낼 수 있다. 특성함수는 모멘트생성함수와 유사하지만, 모멘트생성함수는 일부 분포에 대해서 존재하지 않을 수 있는 것에 비해 특성함수는 실수값에 대하여 항상 존재한다.

실수 ${\displaystyle t}$에 대해, 확률변수 ${\displaystyle X}$의 특성함수 ${\displaystyle \varphi _{X}(t)}$는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} [\,e^{itX}\,]=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}f(x)\,dx}$.

여기서 ${\displaystyle f(x)}$는 ${\displaystyle X}$의 확률밀도함수이다.

예제

다음은 자주 사용되는 확률분포의 모멘트생성함수와 특성함수의 목록이다.

분포	모멘트생성함수	특성함수
이항 분포 B(n, p)	${\displaystyle \,(1-p+pe^{t})^{n}}$	${\displaystyle \,(1-p+pe^{it})^{n}}$
푸아송 분포 Pois(λ)	${\displaystyle \,e^{\lambda (e^{t}-1)}}$	${\displaystyle \,e^{\lambda (e^{it}-1)}}$
연속균등분포 U(a, b)	${\displaystyle \,{\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}$	${\displaystyle \,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}}$
정규분포 N(μ, σ2)	${\displaystyle \,e^{t\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$	${\displaystyle \,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}}$
카이제곱 분포 χ2k	${\displaystyle \,(1-2t)^{-k/2}}$	${\displaystyle \,(1-2it)^{-k/2}}$
감마 분포 Γ(k, θ)	${\displaystyle \,(1-t\theta )^{-k}}$	${\displaystyle \,(1-it\theta )^{-k}}$
지수분포 Exp(λ)	${\displaystyle \,(1-t\lambda ^{-1})^{-1}}$	${\displaystyle \,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}}$
다변량 정규분포 N(μ, Σ)	${\displaystyle \,e^{t^{\mathrm {T} }\mu +{\frac {1}{2}}t^{\mathrm {T} }\Sigma t}}$	${\displaystyle \,e^{it^{\mathrm {T} }\mu -{\frac {1}{2}}t^{\mathrm {T} }\Sigma t}}$
퇴화분포 δa	${\displaystyle \,e^{ta}}$	${\displaystyle \,e^{ita}}$
라플라스 분포 L(μ, b)	${\displaystyle \,{\frac {e^{t\mu }}{1-b^{2}t^{2}}}}$	${\displaystyle \,{\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}}$
코시 분포 Cauchy(μ, θ)	정의되지 않음	${\displaystyle \,e^{it\mu -\theta |t|}}$
음이항 분포 NB(r, p)	${\displaystyle \,{\frac {(pe^{t})^{r}}{(1-(1-p)e^{t})^{r}}}}$	${\displaystyle \,{\frac {p^{r}}{(1-(1-p)e^{it})^{r}}}}$