진비엘 대수

추상대수학에서, 진비엘 대수(영어: Zinbiel algebra)는 라이프니츠 대수의 코쥘 쌍대가 되는 대수 구조이다.^{[1]:7–66[2]}

정의

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 진비엘 대수는 다음과 같은 데이터로 정의된다.

• ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle K}$-쌍선형 이항 연산 ${\displaystyle (\star )\colon A\otimes _{K}A\to A}$

이 데이터는 다음과 같은 진비엘 항등식을 만족시켜야 한다.

${\displaystyle (a\star b)\star c=a\star (b\star c)+a\star (c\star b)}$

성질

진비엘 대수 ${\displaystyle (A,\star )}$에 다음과 같은 곱셈을 부여하면, 이는 가환 결합 대수를 이룬다.

${\displaystyle ab=a\star b+b\star a}$

즉, 진비엘 대수는 추가 구조를 갖춘 가환 결합 대수로 여길 수 있다. (이는 리 대수가 라이프니츠 대수의 특수한 경우라는 사실의 코쥘 쌍대이다.) 특히, 만약 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\in K}$라면, 반대칭 괄호

${\displaystyle [a,b]=a\star b-b\star a}$

를 정의하여

${\displaystyle a\star b={\frac {1}{2}}(ab+[a,b])}$

를 정의하여, 진비엘 대수를 위와 같은 반대칭 괄호를 갖춘 가환 결합 대수로 생각할 수 있다. 이 경우, 반대칭 괄호는

${\displaystyle [a,b]c+[ab,c]+[[a,b],c]=2[a,bc]+abc}$

를 따른다. (특히, 괄호를 모두 0으로 놓을 수 없다.)

예

체 위에서, 벡터 공간 ${\displaystyle V}$로 생성되는 자유 진비엘 대수는 등급 벡터 공간으로서 축소 텐서 대수 (즉, 상수항을 생략한 것)

${\displaystyle V\oplus V\otimes V\oplus V\otimes V\otimes V\oplus \dotsb }$

이다. 이에 대응되는 가환 결합 대수 구조는 셔플 대수의 것이다.

역사

장루이 로데가 1995년에 고안하였다.^[3] “진비엘 대수”(프랑스어: algèbre de Zinbiel)라는 이름은 장미셸 르메트르(프랑스어: Jean-Michel Lemaire)가 최초로 사용하였으며,^[1] 라이프니츠 대수의 “라이프니츠”(독일어: Leibniz)의 철자를 뒤집은 것이다.