추상 지표 표기법

추상 지표 표기법(abstract index notation)^[1]은 텐서와 스피너를 위한 수학적 표기법으로, 특정 기저의 성분이 아닌 유형을 나타내기 위해 지표를 사용한다.^[2] 지표는 단지 자리 표시자에 불과하며 어떤 기저와도 관련이 없으며, 특히 숫자가 아니다. 따라서 리치 미적분학과 혼동해서는 안 된다. 이 표기법은 로저 펜로즈에 의해 현대 추상 텐서 표기법에서 축약과 공변 미분을 설명하는 어려움을 보완하기 위해 아인슈타인 합 규약의 형식적인 측면을 사용하면서 관련된 표현의 명시적 공변성을 보존하는 방법으로 도입되었다.^[3]

${\displaystyle V}$를 벡터 공간이라 하고 ${\displaystyle V^{*}}$를 그 쌍대 공간이라 하자. 예를 들어, 2차 공변 텐서 ${\displaystyle h\in V^{*}\otimes V^{*}}$를 고려해 보자. 그러면 ${\displaystyle h}$는 ${\displaystyle V}$에 대한 쌍선형 형식으로 식별될 수 있다. 즉, ${\displaystyle V}$의 두 인수에 대한 함수로, 한 쌍의 슬롯으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle h=h(-,-).}$

추상 지표 표기법은 단지 라틴 문자로 슬롯에 레이블을 붙인 것으로, 슬롯의 레이블 지정 외에는 중요성이 없다(즉, 숫자가 아니다).

${\displaystyle h=h_{ab}.}$

두 텐서 사이의 텐서 축약 (또는 대각합)은 지표 레이블의 반복으로 표현되며, 한 레이블은 반변적이고 (인자 ${\displaystyle V}$에 해당하는 위 지표) 다른 레이블은 공변적이다 (인자 ${\displaystyle V^{*}}$에 해당하는 아래 지표). 따라서 예를 들어,

${\displaystyle t_{ab}{}^{b}}$

는 텐서 ${\displaystyle t=t_{ab}{}^{c}}$의 마지막 두 슬롯에 대한 대각합이다. 반복된 지표로 텐서 축약을 표현하는 이 방식은 아인슈타인 합 규약과 형식적으로 유사하다. 그러나 지표가 숫자가 아니기 때문에 합을 의미하지는 않는다. 오히려 ${\displaystyle V}$ 유형의 텐서 인자와 ${\displaystyle V^{*}}$ 유형의 텐서 인자 사이의 추상적인 기저 독립적인 대각합 연산 (또는 자연 짝짓기)에 해당한다.

추상 지표와 텐서 공간

일반적인 동차 텐서는 ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle V^{*}}$의 사본들의 텐서곱의 원소이다.

${\displaystyle V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

이 텐서곱의 각 인자에 대해 각 반변 ${\displaystyle V}$ 인자에는 위쪽에 라틴 문자를, 각 공변 ${\displaystyle V^{*}}$ 위치에는 아래쪽에 라틴 문자를 붙여 레이블을 지정한다. 이런 식으로 곱을 다음과 같이 쓴다.

${\displaystyle V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}}$

또는 간단히

${\displaystyle V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}.}$

마지막 두 표현은 첫 번째와 동일한 객체를 나타낸다. 이 유형의 텐서는 예를 들어 다음과 같은 유사한 표기법을 사용하여 나타낸다.

${\displaystyle h^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}\in V^{a}{}_{bc}{}^{d}{}_{e}=V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}.}$

축약

 텐서 축약 문서를 참고하십시오.

일반적으로 공간의 텐서곱에 하나의 반변 인자와 하나의 공변 인자가 나타날 때마다 관련 축약 (또는 대각합) 사상이 존재한다. 예를 들어,

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V\otimes V^{*}}$

는 텐서곱의 처음 두 공간에 대한 대각합이다.$${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V\otimes V^{*}\to V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$$는 처음과 마지막 공간에 대한 대각합이다.

이러한 대각합 연산은 지표의 반복으로 텐서에 표시된다. 따라서 첫 번째 대각합 사상은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{12}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^{a}{}_{a}{}_{c}{}^{d}{}_{e}}$

두 번째는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {Tr} _{15}:h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{e}\mapsto h{}^{a}{}_{b}{}_{c}{}^{d}{}_{a}.}$

꼬임

단일 벡터 공간의 모든 텐서곱에 대해 꼬임 사상이 관련되어 있다. 예를 들어, 꼬임 사상

${\displaystyle \tau _{(12)}:V\otimes V\rightarrow V\otimes V}$

은 두 텐서 인자를 교환한다 (따라서 간단한 텐서에 대한 동작은 ${\displaystyle \tau _{(12)}(v\otimes w)=w\otimes v}$로 주어진다). 일반적으로 꼬임 사상은 텐서 인자를 치환하여 작용하는 대칭군 (군론)의 원소들과 일대일 대응한다. 여기서 ${\displaystyle \tau _{\sigma }}$는 치환 ${\displaystyle \sigma }$ (서로소 순환 치환의 곱으로 표현됨)에 관련된 꼬임 사상을 나타낸다.

꼬임 사상은 미분기하학에서 예를 들어, 비안키 항등식을 표현하는 데 중요하다. 여기서 ${\displaystyle R}$을 ${\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V}$의 텐서로 간주되는 리만 텐서라 하자. 그러면 첫 번째 비안키 항등식은 다음과 같이 주장한다.

${\displaystyle R+\tau _{(123)}R+\tau _{(132)}R=0.}$

추상 지표 표기법은 다음과 같이 꼬임을 처리한다. 특정 텐서곱에 대해 추상 지표의 순서가 고정된다 (일반적으로 사전식 순서이다). 꼬임은 지표의 레이블을 치환하여 표기법으로 표현된다. 따라서 예를 들어, 리만 텐서의 경우

${\displaystyle R=R_{abc}{}^{d}\in V_{abc}{}^{d}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}\otimes V,}$

비안키 항등식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle R_{abc}{}^{d}+R_{cab}{}^{d}+R_{bca}{}^{d}=0.}$

반대칭화와 대칭화

일반적인 텐서는 반대칭화되거나 대칭화될 수 있으며, 해당 표기법이 존재한다.

예시를 통해 표기법을 설명한다. 세 개의 원소에 대한 대칭군이 ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$인 유형-(0,3) 텐서 ${\displaystyle \omega _{abc}}$를 반대칭화해 보자.

${\displaystyle \omega _{[abc]}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}{{\text{sgn}}(\sigma )}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

마찬가지로 대칭화할 수 있다.

${\displaystyle \omega _{(abc)}:={\frac {1}{3!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{3}}\omega _{\sigma (a)\sigma (b)\sigma (c)}}$

같이 보기

• 펜로즈 그래프 표기법
• 아인슈타인 표기법
• 지표 표기법
• 텐서
• 반대칭 텐서
• 지표 올리기 및 내리기
• 벡터의 공변성 및 반변성