측도 수렴 함수열

측도론에서, 측도 수렴 함수열(測度收斂函數列, 영어: convergent sequence of functions in measure)은 극한과의 오차가 큰 부분이 점차 사라지는 가측 함수의 열이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$
• (보렐 시그마 대수를 갖춘) 분해 가능 거리 공간 ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

가측 함수의 열 ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y)_{i\in \mathbb {N} }}$ 및 가측 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$가 다음 조건을 만족시키면, ${\displaystyle (f_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$이 ${\displaystyle f}$로 측도 수렴한다고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\mu (\{x\in X\colon d_{Y}(f_{i},f)>\epsilon \})=0}$

가측 함수의 열 ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y)_{i\in \mathbb {N} }}$이 다음 조건을 만족시키면, 측도 코시 열(測度-列, 영어: Cauchy sequence in measure)이라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{i,j\geq n}\mu (\{x\in X\colon d_{Y}(f_{i},f_{j})>\epsilon \})=0}$

만약 ${\displaystyle \mu }$가 확률 측도일 경우, 확률 수렴(確率收斂, 영어: convergence in probability)과 확률 코시 열(確率-列, 영어: Cauchy sequence in probability)이라는 용어를 대신 사용하기도 한다.

성질

만약 ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y)_{i\in \mathbb {N} }}$이 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle g}$로 측도 수렴한다면, 거의 어디서나 ${\displaystyle f=g}$이다.

함의 관계

모든 측도 수렴 함수열은 항상 거의 어디서나 수렴 부분 함수열을 갖는다. 만약 ${\displaystyle X}$가 가산 집합일 경우, 모든 측도 수렴 함수열은 거의 어디서나 수렴한다.

만약 ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle (f_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$는 ${\displaystyle f}$로 측도 수렴한다.
• 임의의 부분열 ${\displaystyle (f_{i(j)})_{j\in \mathbb {N} }}$에 대하여, ${\displaystyle f}$로 거의 어디서나 수렴하는 부분열 ${\displaystyle (f_{i(j(k))})_{k\in \mathbb {N} }}$이 존재한다.

(특히, ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$일 경우 모든 거의 어디서나 수렴 함수열은 측도 수렴한다.)

모든 측도 수렴 함수열은 측도 코시 열이다. 만약 ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$이며, ${\displaystyle Y}$가 분해 가능 완비 거리 공간일 경우, 모든 측도 코시 열은 측도 수렴한다.

확률 측도 공간 ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$이 주어졌다고 하자. 또한, 실수 값 가측 함수 ${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$에 대하여 측도 수렴과 거의 어디서나 수렴이 동치라고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle \mu }$는 원자적 측도다.^{[1]:165, Exercise 2.12.71}

예

측도 수렴하지 않는 거의 어디서나 수렴 함수열

보렐 시그마 대수와 르베그 측도를 갖춘 실수선 ${\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\mu _{\operatorname {L} })}$ 위에 다음과 같은 함수열을 정의하자.

${\displaystyle f_{i}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f_{i}\colon x\mapsto {\begin{cases}1&x\in [n,\infty )\\0&x\not \in [n,\infty )\end{cases}}}$

그렇다면 ${\displaystyle (f_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$은 0으로 점별 수렴하며, 특히 거의 어디서나 수렴하지만, 측도 수렴하지 않는다.

거의 어디서나 수렴하지 않는 측도 수렴 함수열

실수 구간 ${\displaystyle ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),\mu _{\operatorname {L} })}$ 위에 다음과 같은 함수열을 정의하자.

${\displaystyle f_{i}\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f_{i}\colon x\mapsto {\begin{cases}1&i=(1+2+\cdots +n)+j,\;0\leq j\leq n,\;x\in [j/(n+1),(j+1)/(n+1)]\\0&i=(1+2+\cdots +n)+j,\;0\leq j\leq n,\;x\not \in [j/(n+1),(j+1)/(n+1)]\end{cases}}}$

그렇다면 ${\displaystyle (f_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$은 0으로 측도 수렴하지만, 모든 곳에서 발산하며, 특히 거의 어디서나 수렴하지 않는다.