카르탕 정리

복소기하학과 대수기하학에서 카르탕 정리(Cartan定理, 영어: Cartan’s theorems)는 슈타인 다양체 및 아핀 스킴 위의 연접층의 성질에 대한 두 개의 핵심적인 정리이다.

정의

슈타인 다양체 ${\displaystyle X}$ 위의 연접층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• (카르탕 A정리 영어: Cartan’s theorem A) ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-가군층으로서, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 대역적 단면들로부터 생성된다.
• (카르탕 B정리 영어: Cartan’s theorem B) 임의의 ${\displaystyle p>0}$에 대하여, 층 코호몰로지 ${\displaystyle H^{p}(X;{\mathcal {F}})}$는 자명군이다.

아핀 스킴에 대해서도 유사한 정리가 성립한다. 임의의 아핀 스킴 ${\displaystyle X}$ 및 그 위의 준연접층 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$에 대하여,

• (아핀 스킴에 대한 카르탕 A정리) ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-가군층으로서, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$의 대역적 단면들로부터 생성된다.
• (아핀 스킴에 대한 카르탕 B정리) 임의의 ${\displaystyle p>0}$에 대하여, 층 코호몰로지 ${\displaystyle H^{p}(X;{\mathcal {F}})}$는 자명군이다.^{[1]:Theorem III.3.7}

역사

앙리 카르탕이 1953년에 증명하였다.^[2] 아핀 스킴에 대한 카르탕 정리는 장피에르 세르가 1955년에 증명하였다.^[3]