카이제곱 분포

카이제곱 분포(χ제곱分布, 영어: chi-squared distribution) 또는 χ² 분포는 ${\displaystyle k}$개의 서로 독립적인 표준정규 확률변수를 각각 제곱한 다음 합해서 얻어지는 분포이다. 이 때 ${\displaystyle k}$를 자유도라고 하며, 카이 제곱 분포의 매개변수가 된다. 카이 제곱 분포는 신뢰구간이나 가설검정 등의 모델에서 자주 등장한다.

카이제곱 분포

확률 밀도 함수
누적 분포 함수
매개변수	자연수 ${\displaystyle k}$: 자유도
지지집합	x ∈ [0, +∞)
확률 밀도	${\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\;x^{k/2-1}e^{-x/2}}$
누적 분포	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k/2)}}\;\gamma (k/2,\,x/2)}$
기댓값	${\displaystyle k}$
중앙값	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}$
최빈값	max{ k − 2, 0 }
분산	${\displaystyle 2k}$
비대칭도	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}}$
첨도	12 / k
엔트로피	${\displaystyle {\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)}$
적률생성함수	${\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}}$, 단 ${\displaystyle |k|\leq 1/2}$
특성함수	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}}$[1]

카이 제곱 분포는 감마 분포의 특수한 형태로 감마 분포에서 ${\displaystyle k=\nu /2}$, ${\displaystyle \theta =2}$인 분포를 나타낸다.

${\displaystyle f(x;\,k)={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{k/2-1}e^{-x/2}\,\mathbf {1} _{\{x\geq 0\}}}$

정의

양의 정수 ${\displaystyle k}$가 주어졌다고 하고, ${\displaystyle k}$개의 독립적이고 표준정규분포를 따르는 확률변수 ${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{k}}$를 정의하자.

그렇다면 자유도 ${\displaystyle k}$의 카이 제곱 분포는 확률변수

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}}$

의 분포이다. 즉, ${\displaystyle Q\sim \chi _{k}^{2}}$이다.

성질

카이 제곱 분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

${\displaystyle f(x;\,k)={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{k/2-1}e^{-x/2}\,\mathbf {1} _{\{x\geq 0\}}}$

여기에서 ${\displaystyle \Gamma (k/2)}$는 감마 함수이다.

누적분포함수는 다음과 같다.

${\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\gamma (k/2,\,x/2)}{\Gamma (k/2)}}=P(k/2,\,x/2)}$

여기에서 ${\displaystyle \gamma (s,\ x)}$는 하부 불완전 감마 함수이다.

비대칭도는 ${\displaystyle {\sqrt {8/k}}}$, 첨도는 ${\displaystyle 12/k}$이다. 따라서 ${\displaystyle k}$가 충분히 크지 않은 경우 카이 제곱 분포를 중심극한정리를 통해 곧바로 정규분포로 근사하는 것은 오차가 많이 발생한다. 그 대신, 다른 방식의 근사 방식이 제안되어 있다.

• 로널드 피셔는 ${\displaystyle {\sqrt {2\chi _{k}^{2}}}}$를 정규분포로 근사하는 방법을 제안했다. 이때 평균은 ${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}}$, 분산은 1이 된다.
• ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\chi _{k}^{2}/k}}}$를 정규분포로 근사할 수 있다. 평균은 ${\displaystyle 1-2/(9k)}$, 분산은 ${\displaystyle 2/(9k)}$가 된다.