카츠-무디 대수
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
는 정수 성분의
정사각 행렬이며, 그 계수는
이다. 이를 (일반화) 카르탕 행렬(一般化Cartan行列, 영어: (generalized) Cartan matrix)이라고 한다.
는
차원 복소수 벡터 공간이다. 이를 카르탕 부분 대수(Cartan部分代數, 영어: Cartan subalgebra)라고 한다.
은
개의 선형 독립 벡터이며,
는
개의 선형 독립 벡터이다.
를 단순근(單純根, 영어: simple root),
를 단순쌍대근(單純雙對根, 영어: simple coroot)이라고 한다.
이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 모든
에 대하여, 
- 모든
에 대하여, 
- 모든
에 대하여, 만약
라면 
- 모든
에 대하여, 만약
이라면 
이 경우, 카츠-무디 대수
는
및 생성원
,
으로 생성되며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는 복소수 리 대수이다.
![{\displaystyle [h,h']=0\qquad \forall h,h'\in {\mathfrak {h}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d110a30c5f65ef47958b833b7eb61fff8d5895cf)
![{\displaystyle [h,e_{i}]=\alpha _{i}(h)e_{i}\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;i\in \{1,\dots ,n\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d868bfa2ef115a5c9e7833b9bab1279b98282524)
![{\displaystyle [h,f_{i}]=-\alpha _{i}(h)f_{i}\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}},\;i\in \{1,\dots ,n\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a55fc18772e21681538b24485e6a72a1fb50ab7)
![{\displaystyle [e_{i},f_{i}]=\delta _{ij}\alpha _{i}^{\vee }\qquad \forall i,j\in \{1,\dots ,n\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f006f89322463f945cf0dae3ab221c181848766)
![{\displaystyle \overbrace {[e_{i},[e_{i},\cdots ,[e_{i},} ^{1-A_{ij}}e_{j}]\cdots ]]=\overbrace {[f_{i},[f_{i},\dots ,[f_{i},} ^{1-A_{ij}}f_{j}]\cdots ]]=0\qquad \forall i\neq j}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d153c32fd6f8b4a72f4432da0e372999e155af07)
여기서
를 슈발레 생성원(영어: Chevalley generator)라고 한다.
만약 카츠-무디 대수
의 카르탕 행렬
에 대하여,
인 대각 행렬
와 대칭 행렬
가 존재한다면,
를 대칭화 가능 카츠-무디 대수(영어: symmetrizable Kač–Moody algebra)라고 한다.
카츠-무디 대수
의 계수(영어: rank)
는 그 카르탕 행렬의 계수
와 같다.
근계
카츠-무디 대수
가 주어졌을 때, 만약
및
에 대하여
![{\displaystyle [h,x]=\lambda (h)x\qquad \forall h\in {\mathfrak {h}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9c70b64ba7981e9570129570a4c6f3c16701902)
라면,
를
의 근(根, 영어: root)이라고 하고,
를
의 근 벡터(根vector, 영어: root vector)라고 한다.
의 모든 근들의 집합을
라고 하자.
의 근
에 대응하는 근공간(영어: root space)
은
에 대응하는 모든 근 벡터들의 집합이다. 즉, 다음과 같다.
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}\colon \forall h\in {\mathfrak {h}}\colon [h,x]=\lambda (h)x\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018f75175c771c0b4cd7986a6f4520ae55b3735b)
이는 복소수 벡터 공간을 이룬다.
모든 카츠-무디 대수
는 복소수 벡터 공간으로서 다음과 같은 직합으로 나타내어진다.

또한, 모든 근
는 단순근들의 정수 계수 선형 결합이며, 이 경우 모든 계수들은 모두 양의 정수이거나 아니면 모두 음의 정수이다.

이 경우, 모두 양의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 양근(陽根, 영어: positive root), 모두 음의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 음근(陰根, 영어: negative root)이라고 한다.
모든 단순근
는 양근이며,
는 음근이다. 또한,
및
는 각각 대응하는 단순근 또는 그 반대 벡터의 근공간에 속한다.


딘킨 도표
카츠-무디 대수는 딘킨 도표(Дынкин圖表, 영어: Dynkin diagram)로 나타낼 수 있다. 이는 그래프의 일종이다. 카르탕 행렬
에 대응하는 딘킨 도표는 다음과 같다.
- 딘킨 도표의 꼭짓점은
개가 있으며,
에 대응한다. 즉, 각 단순근에 대응한다.
일 때, 두 꼭짓점
사이의 변의 수는
이다.
- 만약
라면,
와
사이의 변에
로 향하는 화살표를 그린다.