케일리-딕슨 구성

추상대수학에서 케일리-딕슨 구성(Cayley-Dickson構成, 영어: Cayley–Dickson construction)은 어떤 환 위의 대수에 대하여, 차원이 두 배인 대수를 만드는 한 방법이다.^{[1]:160–164, §Ⅱ.2.5} 이 경우, 원래 대수의 일부 성질들이 확장된 대수에서도 성립한다.

정의

가환환 ${\displaystyle K}$가 주어졌다고 하자.

그 위의 *-대수는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle K}$-가군 준동형 ${\displaystyle \star \colon A\otimes _{K}A\to A}$. (이는 결합 법칙이나 교환 법칙을 따르지 않을 수 있다.)
• ${\displaystyle K}$-가군 준동형 ${\displaystyle (-)^{*}\colon A\to A}$. 이는 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • ${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}\qquad \forall x,y\in A}$
  • ${\displaystyle x^{**}=x\qquad \forall x\in A}$

또한, ${\displaystyle K}$의 가역원 ${\displaystyle \mu \in \operatorname {Unit} (K)}$이 주어졌다고 하자.

그렇다면, ${\displaystyle K}$-가군의 직합 ${\displaystyle A\oplus A}$ 위에 다음과 같은 ${\displaystyle K}$-대수 구조 및 대합을 줄 수 있다.

${\displaystyle (x,y)(x',y')=(xx'-\mu y'^{*}y,y'x+yx'^{*})}$

${\displaystyle (x,y)^{*}=(x^{*},-y)}$

즉, 새 원소 ${\displaystyle i=(0,1)}$를 추가하며, ${\displaystyle (a,b)=a+bi}$로 쓰면, 모든 ${\displaystyle a,b,c\in A}$에 대하여 다음과 같은 대수 관계를 준다.

${\displaystyle ai=ia^{*}}$

${\displaystyle a(bi)=(ba)i}$

${\displaystyle (ai)b=(ab^{*})i}$

${\displaystyle (ai)(bi)=\mu b^{*}a}$

${\displaystyle i^{*}=-i}$

그렇다면 이는 *-대수 ${\displaystyle \operatorname {CD} (A)}$를 이룬다. 또한, 이에 따라 표준적인 단사 *-대수 준동형 ${\displaystyle A\to \operatorname {CD} (A)}$가 주어진다.

케일리-딕슨 구성에서 추가되는 원소를 ${\displaystyle i\mapsto \alpha i}$와 같이 재정의할 경우, ${\displaystyle \mu \mapsto \mu /\alpha ^{2}}$가 된다. 즉, 케일리-딕슨 구성은 제곱 유군의 원소 ${\displaystyle [\mu ]\in \operatorname {Unit} (K)/\operatorname {Unit} (K)^{2}}$에 의하여 분류된다. 특히, 이차 폐체의 경우, 케일리-딕슨 구성의 각 단계는 유일하다.

성질

유사환 ${\displaystyle R}$ 위의 대합 대수 ${\displaystyle A}$ 및 그 케일리-딕슨 대수 ${\displaystyle \operatorname {CD} (A)}$에 대하여, ${\displaystyle A}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\displaystyle \operatorname {CD} (A)}$는 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

${\displaystyle A}$의 성질	${\displaystyle \operatorname {CD} (A)}$의 성질
단위원 ${\displaystyle 1_{A}\in A}$을 갖는다	단위원 ${\displaystyle 1_{A}+0i}$를 갖는다
*-조건이 성립	*-조건이 성립
교환 법칙이 성립하며, ${\displaystyle ^{*}}$는 항등 함수	교환 법칙이 성립
교환 법칙·결합 법칙이 성립	결합 법칙이 성립
결합 법칙이 성립하며, *-조건이 성립	교대 대수

여기서 ${\displaystyle *}$-조건은 다음과 같다.

• 모든 ${\displaystyle a,b,c}$에 대하여, ${\displaystyle 0=[a+a^{*},b]=[aa^{*},b]=(a+a^{*},b,c)=(aa^{*},b,c)=(b,a+a^{*},c)=(b,aa^{*},c)=(b,c,a+a^{*})=(b,c,aa^{*})}$

여기서

${\displaystyle [a,b]=ab-ba}$

${\displaystyle (a,b,c)=(ab)c-a(bc)}$

는 각각 교환자 및 결합자이다.

표수가 2가 아닌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 모든 합성 대수는 ${\displaystyle K}$로부터 0번 ~ 3번 (${\displaystyle \mu }$를 사용하는) 케일리-딕슨 구성으로부터 주어진다. 표수가 2인 체의 경우, 모든 [[합성 대수는 ${\displaystyle K}$ 자체 또는 2차원 합성 대수에 마찬가지로 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.

예

실수 ${\displaystyle \mathbb {R} }$를 스스로 위의 대수로 여겨, 케일리-딕슨 구성을 가하면, 다음과 같다.

대수	이름	성질
${\displaystyle \mathbb {R} }$	실수	교환 법칙 · 결합 법칙 · 대합이 항등 함수 · 단위원 존재
${\displaystyle \mathbb {C} =\operatorname {CD} (\mathbb {R} )}$	복소수	교환 법칙 · 결합 법칙 · 단위원 존재
${\displaystyle \mathbb {H} =\operatorname {CD} (\mathbb {C} )}$	사원수	결합 법칙 · *-조건 · 단위원 존재
${\displaystyle \mathbb {O} =\operatorname {CD} (\mathbb {H} )}$	팔원수	교대 대수 · *-조건 · 단위원 존재
${\displaystyle \mathbb {S} =\operatorname {CD} (\mathbb {O} )}$	십육원수	*-조건 · 단위원 존재

이 대수들의 경우

${\displaystyle \|a\|^{2}=a^{*}a\in [0,\infty )\subset \mathbb {R} \subset \operatorname {CD} ^{n}(\mathbb {R} )\qquad \forall a\in \operatorname {CD} ^{n}(\mathbb {R} )}$

이므로, 곱셈과 호환되는 노름 ${\displaystyle \|\cdot \|\colon \operatorname {CD} ^{n}(\mathbb {R} )\to [0,\infty )}$을 줄 수 있다.

역사

아서 케일리와 레너드 유진 딕슨^[2] 이 도입하였다.