아서 케일리

아서 케일리(영어: Arthur Cayley IPA: [ˈɑː(ɹ)θə(ɹ) ˈkeɪli] FRS, 1821년 8월 16일 ~ 1895년 1월 26일)는 영국의 법률가이자 수학자이다. 대학 졸업 후 25세에 14년 동안 법률가로서 활동하였다.^[1] 그 후 40대 이후에 드디어 본격적으로 전문수학자로서 활동하기 시작했다.

아서 케일리 Arthur Cayley
아서 케일리(영국 런던에서 찍은 사진, Barraud&Jerrard 작)
출생	1821년 8월 16일(1821-08-16) 영국 서리주 리치먼드
사망	1895년 1월 26일(1895-01-26)(73세) 영국 케임브리지
국적	영국
출신 학교	케임브리지 대학교
주요 업적	케일리-해밀턴 정리 케일리 그래프 팔원수 케일리-딕슨 구성 케일리 변환
수상	코플리 메달(1882년) 드 모르간 메달(1884년) 로열 메달(1859년) 코플리 메달(1882년)
분야	수학
소속	케임브리지 대학교
박사 지도교수	윌리엄 홉킨스(William Hopkins)
박사 지도학생	H. F. Baker Andrew Forsyth Charlotte Scott

상대성 이론에서 4차원의 개념을 뚜렷하게 만들고, 기하 공간이 점과 선으로만 이루어진다고 한정하는 것을 벗어나게 했다. 또 행렬의 대수를 발전시켰고, 기하학에서도 많은 업적을 쌓았다. 1884년에 드 모르간 메달을 수상했다. 윌리엄 로언 해밀턴의 제자로서 해밀턴과 함께 케일리-해밀턴 정리를 발견하고, 해밀턴의 사원수를 발전시켜서 팔원수를 고안하기도 했다. 윌리엄 로언 해밀턴의 친구인 아일랜드의 수학자 존 토머스 그레이브스(영어: John Thomas Graves, 1806~1870)는 사원수를 확장하려는 시도 끝에 데겐의 여덟 제곱수 항등식을 재발견하였고, 이를 기반으로 한 팔원수를 고안하였다.^[2]

그러나 아서 케일리는 1845년에 이와는 독립적으로 팔원수를 발견하여 발표하였다.^[3]

아서 케일리의 팔원수는 사원수 대수에 케일리-딕슨 구성을 가하여 얻어진다.^[4]

제임스 조지프 실베스터와는 친구로, 실베스터가 런던을 방문할때면, 함께 Lincoln's Inn, London(런던법학원,영국법조원 비영리협회)에서 자주 거닐며, 불변식론을 논의하곤 했다.^[5]

다비트 힐베르트가 힐베르트의 불변식론을 전개할 때 케일리의 오메가 프로세스를 사용하였다.^[6]

케일리의 오메가 프로세스

${\displaystyle n^{2}}$, 변수로 ${\displaystyle x_{ij}}$를 갖는 미분 연산자를 가정하면, 오메가 연산자(operator)가 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \Omega ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}}$

2변수다항식의 2차 불변식의 경우, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle x_{1},y_{1}}$ 그리고 다른 함수 ${\displaystyle g}$ 의 ${\displaystyle 2}$개의 변수${\displaystyle x_{2},y_{2}}$에 대해 Ω(오메가)연산자는

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{2}\partial y_{1}}}}$ 이고,

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{{\partial f} \over {\partial x_{1}}}&{{\partial f} \over {\partial y_{1}}}\\{{\partial g} \over {\partial x_{2}}}&{{\partial g} \over {\partial y_{2}}}\end{vmatrix}}=\Omega ^{2}(f,g)}$로 예약해보면,

${\displaystyle 2-fold}$(중)${\displaystyle \,\Omega process}$ ,즉 ${\displaystyle \Omega ^{2}(f,g)}$는 ${\displaystyle x}$ 그리고 ${\displaystyle y}$의 변수에 의해 ${\displaystyle 2}$개의 ${\displaystyle f}$ 와 ${\displaystyle g}$ 가

1. ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle x_{1},y_{1}}$ 그리고 ${\displaystyle g}$의 ${\displaystyle x_{2},y_{2}}$로 변환한다.
2. ${\displaystyle \Omega }$에 ${\displaystyle r}$승을 해주면, ${\displaystyle 4}$개의 변수들(${\displaystyle x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}}$)에 의해서 ${\displaystyle f\cdot g}$가 성립한다.
3. ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$와 ${\displaystyle x}$를, ${\displaystyle y_{1},y_{2}}$와 ${\displaystyle y}$를 대입한다.

${\displaystyle r-fold\,\Omega process}$ ,즉 ${\displaystyle \Omega ^{r}(f,g)}$ 또는 ${\displaystyle r-th}$ Transvectant(${\displaystyle tr\Omega ^{r}}$)로 불리는 ${\displaystyle (f,g)^{r}}$가 되겠다.

같이 보기

• 케일리의 정리(케일리의 공식)
• 케일리-해밀턴 정리
• 케일리 그래프
• 팔원수
• 케일리-딕슨 구성
• 제임스 조지프 실베스터
• 불변식론 (영어)
• 케일리의 오메가 프로세스 (영어)
• 힐베르트 공간