코호몰로지 연산

대수적 위상수학에서 코호몰로지 연산(cohomology演算, 영어: cohomology operation)은 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환, 또는 이를 나타내는 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류이다.

정의

1차 코호몰로지 연산

자연수 ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$ 및 아벨 군 ${\displaystyle G,H\in \operatorname {Ab} }$에 대하여, ${\displaystyle (m,n;G,H)}$형 1차 코호몰로지 연산(영어: primary cohomology operation of type ${\displaystyle (m,n;G,H)}$)은 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류

${\displaystyle A\colon K(G,m)\to K(H,n)}$

이다. ${\displaystyle (m,n;G,H)}$형 1차 코호몰로지 연산들의 집합은 에일렌베르크-매클레인 공간의 코호몰로지

${\displaystyle \operatorname {H} ^{n}\left(K(G,m);H\right)}$

를 이룬다. ${\displaystyle (m,n;G,H)}$형 1차 코호몰로지 연산 ${\displaystyle \alpha }$는 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환

${\displaystyle A_{*}\colon \operatorname {H} ^{m}(-;G)\Rightarrow \operatorname {H} ^{n}(-;H)}$

을 유도한다.

2차 코호몰로지 연산

에일렌베르크-매클레인 공간은 다음과 같은 세르 올뭉치를 갖는다.

${\displaystyle K(H,n-1)\simeq \Omega K(H,n)\hookrightarrow {\mathcal {P}}K(H,n)\twoheadrightarrow K(H,n)}$

여기서 ${\displaystyle \Omega X=[\mathbb {S} ^{1},X]_{\bullet }}$는 고리 공간, ${\displaystyle {\mathcal {P}}X=[\mathbb {I} ,X]_{\bullet }}$는 밑점에서 시작하는 경로 공간을 뜻한다. 임의의 1차 코호몰로지 연산 ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {H} ^{n}\left(K(G,m);H\right)}$에 대하여, 올뭉치의 당김

${\displaystyle K(H,n-1){\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}\alpha ^{*}{\mathcal {P}}K(H,n){\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}K(G,m)}$

을 정의할 수 있다. ${\displaystyle A}$ 위의 ${\displaystyle (H',n')}$형 2차 코호몰로지 연산은 ${\displaystyle A^{*}{\mathcal {P}}K(H,n)}$ 위의 코호몰로지류

${\displaystyle B\in \operatorname {H} ^{n'}(\alpha ^{*}{\mathcal {P}}K(H,n),n')}$

이다. 즉, 다음과 같은 호모토피류들이 존재한다.

${\displaystyle {\begin{matrix}K(H,n-1)&{\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}&A^{*}{\mathcal {P}}K(H,n)&{\stackrel {\pi }{\twoheadrightarrow }}&K(G,m)\\&&\downarrow \scriptstyle B\\&&K(H',n')\end{matrix}}}$

그렇다면,

${\displaystyle B\circ \iota \colon K(H,n-1)\to A^{*}{\mathcal {P}}K(H,n)\to K(H',n')}$

를 사용하여

${\displaystyle (B\circ \iota )_{*}\colon \operatorname {H} ^{n-1}(X;H)\to \operatorname {H} ^{n'}(X;H')}$

를 정의할 수 있다.

2차 코호몰로지 연산 ${\displaystyle B\in \operatorname {H} ^{n'}(\alpha ^{*}{\mathcal {P}}K(H,n),n')}$는 코호몰로지류 위의 함수

${\displaystyle B_{*}\colon (\ker A_{*}\subseteq \operatorname {H} ^{m}(X,G))\to {\frac {\operatorname {H} ^{n'}(X;H')}{(B\circ \iota )_{*}\operatorname {H} ^{n-1}(X;H)}}}$

를 정의한다. 구체적으로, 코호몰로지류

${\displaystyle \alpha \colon X\to K(G,m)}$

가 주어졌을 때,

${\displaystyle B_{*}(\alpha )=B\circ \pi ^{-1}\circ a\colon X\to \operatorname {H} ^{n'}(X;H')}$

이다. 여기서 사용한 역함수 ${\displaystyle \pi ^{-1}}$는 일반적으로 잘 정의되지 않는다. 하지만,

• ${\displaystyle \pi ^{-1}}$는 ${\displaystyle \ker A_{*}}$ 위에서 항상 하나 이상의 값을 갖는다.
• ${\displaystyle \pi ^{-1}}$는 일반적으로 여러 개의 값을 가지지만, 가능한 값들의 차는 모두 ${\displaystyle (B\circ \iota )_{*}\operatorname {H} ^{n-1}(X;H)}$에 속한다.

고차 코호몰로지 연산

보다 일반적으로, ${\displaystyle k}$차 코모홀로지 연산에 대응하는 ${\displaystyle k+1}$차 코호몰로지 연산의 개념을 정의할 수 있다. 예를 들어, 1차 코호몰로지 연산 ${\displaystyle A_{1}\colon K(G_{0},n_{0})\to K(G_{1},n_{1})}$에 대한 2차 코호몰로지 연산 ${\displaystyle A_{2}\colon A_{1}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{1},n_{1})\to K(G_{2},n_{2})}$이 주어졌다고 할 때, 그 위의 3차 코호몰로지 연산은 호모토피류 ${\displaystyle A_{3}\colon A_{2}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{2},n_{2})\to K(G_{3},n_{3})}$이다. 즉, 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}K(G_{1},n_{1}-1)&{\stackrel {\iota _{1}}{\hookrightarrow }}&A_{1}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{1},n_{1})&{\stackrel {\pi _{1}}{\twoheadrightarrow }}&K(G_{0},n_{0})\\&&\downarrow \scriptstyle A_{2}\\&&K(G_{2},n_{2})\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}K(G_{2},n_{2}-1)&{\stackrel {\iota _{2}}{\hookrightarrow }}&A_{2}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{2},n_{2})&{\stackrel {\pi _{2}}{\twoheadrightarrow }}&A_{1}^{*}{\mathcal {P}}K(G_{1},n_{1})\\&&\downarrow \scriptstyle A_{3}\\&&K(G_{3},n_{3})\end{matrix}}}$

이는 연산

${\displaystyle A_{3}^{*}\colon \left(\ker A_{2}^{*}\subseteq \operatorname {H} ^{n_{0}}(-;G_{0})\right)\to {\frac {\operatorname {H} ^{n_{3}}(-;G_{3})}{(A_{3}\circ \iota _{2})^{*}\operatorname {H} ^{n_{2}-1}(-;G_{2})}}}$

을 정의한다.

예

특이 코호몰로지에 대하여 정의되는 코호몰로지 연산은 다음을 들 수 있다.

• 합곱 ${\displaystyle \smile \colon K(G,m)\times K(G,n)\to K(G,m+n)}$. 이는 불안정 연산이다.
• 스틴로드 제곱 ${\displaystyle \operatorname {Sq} ^{i}\colon K(\mathbb {Z} /2,n)\to K(\mathbb {Z} /2,n+i)}$
• 스틴로드 축소 제곱 ${\displaystyle P^{i}\colon K(\mathbb {Z} /p,n)\to K(\mathbb {Z} /p,n+2i(p-1)}$, ${\displaystyle p}$ 소수
• 폰트랴긴 제곱 ${\displaystyle K(\mathbb {Z} /p^{r},2n)\to K(\mathbb {Z} /p^{r+1},2pn)}$
• 아벨 군의 짧은 완전열 ${\displaystyle G/N=H}$에 대하여, 복시테인 준동형 ${\displaystyle K(H,n)\to K(N,n+1)}$
• 포스트니코프 제곱
• 매시 곱. 이는 2차 코호몰로지 연산이다.

참고 문헌

• Mosher, Robert E.; Tangora, Martin C. (1968). 《Cohomology operations and applications in homotopy theory》 (영어). Harper & Row. MR 0226634.
• Steenrod, N. E. (1962). 《Cohomology operations》. Annals of Mathematics Studies (영어) 50. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07924-0. MR 0145525.
• Baues, Hans-Joachim (2006). 《The algebra of secondary cohomology operations》. Progress in Mathematics (영어) 247. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-7448-8. MR 2220189.
• Harper, John R. (2002). 《Secondary cohomology operations》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 49. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3198-4. MR 1913285.

외부 링크

• “Cohomology operation”. 《nLab》 (영어).
• “Power operation”. 《nLab》 (영어).
• “Logarithmic cohomology operation”. 《nLab》 (영어).
• “Integral cohomology (stable) operations” (영어). Math Overflow.