복시테인 준동형

호몰로지 대수학에서 복시테인 준동형(Бокштейн準同型, 영어: Bockstein homomorphism)은 아벨 군의 짧은 완전열에 의하여 생성되는 코호몰로지 연산이다.

정의

공사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌다고 하자.

${\displaystyle 0\to C^{\bullet }{\xrightarrow {\iota }}D^{\bullet }{\xrightarrow {\pi }}E^{\bullet }\to 0}$

그렇다면, 지그재그 보조정리를 사용해 다음과 같은 코호몰로지 긴 완전열을 만들 수 있다.

${\displaystyle \Sigma \operatorname {H} _{\bullet }(E){\xrightarrow {\beta }}\operatorname {H} ^{\bullet }(C){\xrightarrow {\iota _{*}}}\operatorname {H} ^{\bullet }(D){\xrightarrow {\pi _{*}}}\operatorname {H} _{\bullet }(E)}$

연결 사상 ${\displaystyle \beta }$을 복시테인 준동형이라고 한다. 여기서

${\displaystyle (\Sigma C)_{\bullet }=C_{\bullet -1}}$

는 사슬 복합체의 현수이다.

사슬 복합체의 호몰로지의 경우에도 마찬가지로 복시테인 준동형이 존재한다. 일반적으로, 원래 (공)사슬 복합체의 등급이 ${\displaystyle \deg d}$라면, 복시테인 준동형의 등급 역시 ${\displaystyle \deg d}$이다.

복시테인 스펙트럼 열

공사슬 복합체 ${\displaystyle C_{\bullet }}$의, 등급 ${\displaystyle n}$의 단사 자기 사상

${\displaystyle f\colon \Sigma ^{n}C^{\bullet }\to C^{\bullet }}$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 짧은 완전열을 적을 수 있다.

${\displaystyle 0\to \Sigma ^{n}C^{\bullet }{\xrightarrow {f}}C^{\bullet }{\xrightarrow {q}}\operatorname {coker} f\to 0}$

그렇다면, 이에 대한 코호몰로지를 취하면 다음과 같은 완전쌍을 얻는다.

${\displaystyle \Sigma ^{n}\operatorname {H} ^{\bullet }(C){\xrightarrow {f_{*}}}\operatorname {H} ^{\bullet }(C){\xrightarrow {q_{*}}}\operatorname {H} _{\bullet }(\operatorname {coker} f){\xrightarrow {\beta }}\Sigma ^{-1}\operatorname {H} _{\bullet }(\operatorname {coker} f)}$

이에 대하여 유도되는 스펙트럼 열을 복시테인 스펙트럼 열(Бокштейн spectrum列, 영어: Bockstein spectral sequence)이라고 하며, 그 첫 쪽은 다음과 같다.^{[1]:Theorem 3.8(a)}

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\begin{cases}\operatorname {H} ^{p(1-n)+q}(\operatorname {coker} f)&p\geq 0\\0&p<0\end{cases}}}$

${\displaystyle d^{n}=q_{*}\circ \beta }$

${\displaystyle \deg d^{n}=(r,1-r)}$

만약 ${\displaystyle n>0}$이며 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {coker} f)}$가 하계를 갖는다면 (즉, ${\displaystyle \{n\in \mathbb {Z} \colon \operatorname {H} ^{n}(\operatorname {coker} f)\neq 0\}}$가 하계를 갖는다면), 이는 다음으로 수렴한다.^{[1]:Theorem 3.8(b)}

${\displaystyle E_{n}^{p,q}\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(C)}$

마찬가지로 호몰로지의 경우에도 복시테인 스펙트럼 열을 적을 수 있다.

예

스틴로드 연산

가장 흔히 쓰이는 복시테인 준동형은 다음 짧은 완전열로부터 유도한, 코호몰로지에 대한 준동형들이다.

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} /n^{2}\to \mathbb {Z} /n\to 0}$

그렇다면, 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 위의 특이 사슬 복합체에 대하여 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 0\to C(X)\otimes \mathbb {Z} /n\to C(X)\otimes \mathbb {Z} /n^{2}\to C(X)\otimes \mathbb {Z} /n\to 0}$

이로부터 다음과 같은 복시테인 준동형을 유도한다.

${\displaystyle \beta \colon H^{n}(X,\mathbb {Z} /n)\to H^{n+1}(X,\mathbb {Z} /n)}$

이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

• ${\displaystyle \beta ^{2}=0}$ (${\displaystyle n}$은 3 이상의 소수)
• ${\displaystyle \beta (a\smile b)=\beta (a)\smile b+(-)^{\deg a}a\smile \beta (b)}$

따라서, 이 복시테인 준동형은 (등급 달린) 라이프니츠 법칙을 만족시키는 (등급) 미분을 이룬다.

정수 슈티펠-휘트니 특성류

이와 비슷하게, 짧은 완전열

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /n\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to 0}$

에 대한 복시테인 준동형

${\displaystyle \beta \colon H^{n}(X,\mathbb {Z} /n)\to H^{n+1}(X,\mathbb {Z} )}$

또한 쓰인다. 예를 들어, 정수 슈티펠-휘트니 특성류 ${\displaystyle W^{n}(X)\in H^{n}(X,\mathbb {Z} )}$는 (일반) 슈티펠-휘트니 특성류 ${\displaystyle w^{n-1}(X)\in H^{n-1}(X,\mathbb {Z} /2)}$에 복시테인 준동형을 가하여 얻는다.

역사

메예르 펠릭소비치 복시테인(러시아어: Ме́ер Фе́ликсович Бокште́йн, 1913~1990)이 도입하였다.^[2][3][4]