콕서터 길이 함수

군론에서, 콕서터 길이 함수(Coxeter길이函數, 영어: Coxeter length function)는 콕서터 군 위에 정의된 자연수 값의 함수이며, 해당 군 원소를 나타내기 위한 단순 반사의 수이다.

정의

표시가 주어진 콕서터 군

${\displaystyle G=\langle r_{1},\dotsc ,r_{n}|(r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle }$

에서, ${\displaystyle r_{1},\dotsc ,r_{n}}$을 ${\displaystyle G}$의 단순 반사(單純反射, 영어: simple reflection)라고 하자.

${\displaystyle G}$위에서, 다음과 같은 자연수 값의 함수를 정의하자.

${\displaystyle \ell \colon G\to \mathbb {N} }$

${\displaystyle \ell (g)=\min\{k\in \mathbb {N} \colon \exists f\colon \{1,\dotsc ,k\}\to \{1,\dotsc ,n\}\colon r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(n)}=g\}}$

즉, ${\displaystyle \ell (g)}$는 ${\displaystyle g}$를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수의 최솟값이며, 이를 콕서터 군의 원소 ${\displaystyle g}$의 길이(영어: length)라고 한다.

${\displaystyle g}$를 표현하는, 최소 길이의 반사들로 구성된 문자열

${\displaystyle g=r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(\ell (g))}}$

을 ${\displaystyle g}$ 의 축소 단어(縮小單語, 영어: reduced word)라고 한다. 이는 일반적으로 유일하지 않을 수 있다.

브뤼아 순서

${\displaystyle G}$ 위에는 다음과 같은 세 부분 순서를 정의할 수 있다. 우선, 임의의 두 원소

${\displaystyle g,g'\in G}$

의 (임의의) 축소 단어

${\displaystyle g=r_{f(1)}\dotsm r_{f(\ell (g))}}$

${\displaystyle g'=r_{f'(1)}\dotsm r_{f'(\ell (g'))}}$

가 주어졌다고 하자.

부분 순서의 이름	${\displaystyle g\leq g'}$일 필요 충분 조건
브뤼아 순서(영어: Bruhat order)	${\displaystyle f=f'\circ j}$이게 하는 단사 증가 함수 ${\displaystyle j\colon \{1,\dotsc ,\ell (g)\}\to \{1,\dotsc ,\ell (g')\}}$가 존재함
오른쪽 약한 순서(영어: right weak order)	${\displaystyle \ell (g)\leq \ell (g')}$, ${\displaystyle f(i)=f'(i)\;\forall i\leq \ell (g)}$
왼쪽 약한 순서(영어: left weak order)	${\displaystyle \ell (g)\leq \ell (g')}$, ${\displaystyle f(i)=f'(i+\ell (g')-\ell (g))\;\forall i\leq \ell (g)}$

여기서, 정의들은 항상

“${\displaystyle g\leq g'}$일 필요 충분 조건은 다음 조건을 만족시키는 ${\displaystyle g}$와 ${\displaystyle g'}$의 축소 단어 ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle f'}$가 적어도 하나 이상 존재하는 것이다”

의 꼴이다. (즉, 모든 가능한 축소 단어가 위 조건을 충족시키지는 않아도 된다.)

성질

콕서터 군 ${\displaystyle G}$에서, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \ell (g)=\ell (g^{-1})\qquad \forall g\in G}$

${\displaystyle \ell (g)=0\iff g=1}$

${\displaystyle \ell (gh)\leq \ell (g)+\ell (h)\qquad \forall g,h\in G}$

즉, ${\displaystyle G}$ 위에 다음과 같은 거리 함수를 줄 수 있다.

${\displaystyle d(g,h)=\ell (g^{-1}h)\qquad (g,h\in G)}$

최장 원소

유한 콕서터 군 ${\displaystyle G}$ 위에서, 길이가 가장 긴 원소가 항상 유일하게 존재한다. 이를 ${\displaystyle G}$의 최장 원소(最長元素, 영어: longest element)라고 한다. (그러나 최장 원소의 축소 단어는 일반적으로 유일하지 않다.) ${\displaystyle G}$의 최장 원소가 ${\displaystyle w\in G}$일 때, 이는 다음 성질을 갖는다.

• ${\displaystyle w^{2}=1}$

증명:

축소 단어

${\displaystyle w=r_{f(1)}r_{f(2)}\dotsm r_{f(\ell (w))}}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle w^{-1}=r_{f(\ell (w)}\dotsm r_{f(1)}}$

역시 축소 단어이며, 최장 원소가 유일하므로 ${\displaystyle w=w^{-1}}$이다.

• ${\displaystyle \forall g\in G\colon \ell (wg)=\ell (gw)=\ell (w)-\ell (g)}$
• ${\displaystyle \ell (w)}$는 ${\displaystyle G}$의 근계의 양근의 수이다.
• ${\displaystyle w}$의 임의의 축소 단어에는 ${\displaystyle G}$의 모든 단순 반사가 한 번 이상 등장한다. (특히, ${\displaystyle \ell (w)\geq n}$이다.)

예

유한 콕서터 군의 최장 원소는 다음과 같다.

• ${\displaystyle A_{n}}$ (${\displaystyle n\geq 2}$), ${\displaystyle D_{2k+1}}$, ${\displaystyle E_{6}}$, ${\displaystyle I_{2}(2k+1)}$의 경우, 콕서터 도표는 반사 대칭을 가지며, 이 경우 최장 원소는 중심 원소 ${\displaystyle -1}$ × 콕서터 도표의 반사 대칭이다.
• 나머지 모든 경우, 최장 원소는 중심 원소 ${\displaystyle -1}$이다.

참고 문헌

• Davis, Michael W. (2007). 《The geometry and topology of Coxeter groups》 (PDF). London Mathematical Society Monographs (영어) 32. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13138-2. Zbl 1142.20020.