콤팩트 작용소

함수해석학에서 콤팩트 작용소(compact作用素, 영어: compact operator)는 유계 집합의 상이 상대 콤팩트 집합인 바나흐 공간 사이의 선형 변환이다.

정의

${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$라고 하자. 두 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-바나흐 공간 ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$ 사이의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-유계 작용소 ${\displaystyle T\colon V\to W}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환을 콤팩트 작용소라고 한다.^{[1]:103, Definition 4.16[2]:199, §VI.5}

• ${\displaystyle V}$ 속의 단위 닫힌 공 ${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V}(0,1))}$의 상 ${\displaystyle T\operatorname {cl} (\operatorname {ball} _{V}(0,1))}$가 ${\displaystyle W}$의 상대 콤팩트 집합이다.
• ${\displaystyle V}$ 속의 임의의 유계 집합 ${\displaystyle B\subseteq V}$의 상 ${\displaystyle TB\subseteq W}$가 ${\displaystyle W}$의 상대 콤팩트 집합이다.
• ${\displaystyle V}$ 속의 임의의 유계 집합 ${\displaystyle B\subseteq V}$의 상 ${\displaystyle TB\subseteq W}$가 ${\displaystyle W}$의 완전 유계 집합이다.

힐베르트 공간의 경우

만약 ${\displaystyle V}$와 ${\displaystyle W}$가 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간이라면, 그 사이의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환 ${\displaystyle T\colon V\to W}$에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이다.

• 콤팩트 작용소이다.
• 치역이 유한 차원 공간인 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환들의 집합을 ${\displaystyle \operatorname {FR} (V,W;\mathbb {K} )\subseteq \operatorname {B} (V,W;\mathbb {K} )}$라고 할 때, ${\displaystyle \operatorname {FR} (V,W;\mathbb {K} )}$의 폐포에 속한다. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {B} (V,W;\mathbb {K} )}$는 유계 작용소의 공간이며, 폐포는 작용소 노름으로 정의된 거리 위상에서 취한 것이다.)
• 다음과 같은 꼴의 표현을 갖는다.

  ${\displaystyle T=\sum _{0\leq i<N}w_{i}s_{i}\langle v_{i},-\rangle }$

여기서

• ${\displaystyle N\in \{0,1,2,\dotsc ,\infty \}}$이다.
• ${\displaystyle (s_{i})_{0\leq i<N}}$는 감소하는 양의 실수열이다. 즉, ${\displaystyle s_{1}\geq s_{2}\geq s_{3}\geq \cdots }$이며, 임의의 ${\displaystyle 0\leq i<N}$에 대하여 ${\displaystyle s_{i}>0}$이다.
• ${\displaystyle (v_{i})_{0\leq i<N}}$는 ${\displaystyle V}$ 속의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle 0\leq i\leq j<N}$에 대하여 ${\displaystyle \langle v_{i},v_{j}\rangle _{V}=\delta _{ij}}$이다 (${\displaystyle \delta _{ij}}$는 크로네커 델타).
• ${\displaystyle (w_{i})_{0\leq i<N}}$는 ${\displaystyle W}$ 속의 정규 직교 벡터열이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle 0\leq i\leq j<N}$에 대하여 ${\displaystyle \langle w_{i},w_{j}\rangle _{W}=\delta _{ij}}$이다 (${\displaystyle \delta _{ij}}$는 크로네커 델타).

이러한 표현을 ${\displaystyle T}$의 특잇값 분해라고 한다.

성질

포함 관계

모든 콤팩트 작용소는 유계 작용소이다.

두 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간 사이의 경우, 두 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간 사이의 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-선형 변환에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

선형 변환 ⊇ 유계 작용소 ⊇ 콤팩트 작용소 ⊇ 힐베르트-슈미트 작용소 ⊇ 대각합류 작용소

또한, 임의의 ${\displaystyle 0<p<\infty }$에 대하여, 두 ${\displaystyle \mathbb {K} }$-힐베르트 공간 사이의 ${\displaystyle p}$차 핵작용소는 콤팩트 작용소이다. (1차 핵작용소는 대각합류 작용소이며, 2차 핵작용소는 힐베르트-슈미트 작용소이다.)

스펙트럼 이론

복소수 바나흐 공간 위의 콤팩트 작용소의 경우, 다음과 같은 매우 깔끔한 스펙트럼 이론이 존재한다.

임의의 복소수 바나흐 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 복소수 콤팩트 작용소

${\displaystyle T\colon V\to V}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 ${\displaystyle \sigma (T)\subseteq \mathbb {C} }$를 정의할 수 있다. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• (프레드홀름 양도 논법 Fredholm 兩刀論法, 영어: Fredholm alternative) 스펙트럼의 모든 0이 아닌 원소는 고윳값이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)\setminus \{0\}}$는 ${\displaystyle T}$의 고윳값이다.^{[3]:Corollary VII.7.10}
• 만약 ${\displaystyle V}$가 무한 차원 바나흐 공간이라면, 항상 ${\displaystyle 0\in \sigma (T)}$이다.
• 스펙트럼의 임의의 0이 아닌 원소 ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)\setminus \{0\}}$ 및 충분히 큰 양의 정수 ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} ^{+}}$에 대하여, ${\displaystyle \ker(\lambda -T)^{m}=\ker(\lambda -T)^{m+1}}$이며, 또한 이 부분 벡터 공간은 유한 차원이다.
• ${\displaystyle T}$의 고윳값들의 집합의 ${\displaystyle \aleph _{0}}$-집적점은 (만약 존재한다면) ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} }$ 밖에 없다.
• ${\displaystyle \sigma (T)\subseteq \mathbb {C} }$는 가산 집합이다.

위 성질 가운데 "프레드홀름 양도 논법"이라는 이름은 이를 다음과 같이 적을 수 있기 때문이다.

임의의 0이 아닌 복소수 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$에 대하여, 다음 둘 ("양도") 가운데 정확히 하나가 성립한다.

• 스펙트럼에 속하지 않는다.
• 고윳값이다.

역사

프레드홀름 양도 논법은 에리크 이바르 프레드홀름이 원래 적분 변환 연산자에 대하여 1903년에 도입하였다.^[4]