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핵작용소
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함수해석학에서, 핵작용소(核作用素, 영어: nuclear operator)는 그 성분들의 거듭제곱들의 합이 수렴하는 콤팩트 작용소이다. 특히, 일 경우(즉, 성분들의 합이 절대 수렴)를 대각합류 작용소(對角合類作用素, 영어: trace-class operator)라고 하며, 이 경우 무한 차원의 경우에도 대각합을 정의할 수 있다. 인 경우를 힐베르트-슈미트 작용소(Hilbert-Schmidt作用素, 영어: Hilbert–Schmidt operator)라고 한다.
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정의
요약
관점
가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. 임의의 양의 실수 가 주어졌다고 하자.
가 다음과 같은 꼴의 급수로 표현될 수 있다면, 를 차 핵작용소(次核作用素, 영어: -nuclear operator)라고 한다.
여기서
- 이다.
- 는 속의 정규 직교열이다. 즉, 이어야 한다. (그러나 는 의 정규 직교 기저일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 가 분해 가능 공간이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
- 는 속의 정규 직교열이다. 즉, 이어야 한다. (그러나 는 의 정규 직교 기저일 필요가 없다. 예를 들어, 만약 가 분해 가능 공간이 아니라면 이는 정규 직교 기저일 수 없다.)
- . (여기서 은 크기 의 이산 공간 위의 르베그 공간이다. 만약 라면 이는 이며, 라면 이는 이다.)
- 급수의 수렴은 유계 작용소 공간 의 작용소 노름에 대한 것이다.
만약 일 경우, 1차 핵작용소는 대각합류 작용소 또는 단순히 핵작용소라고 불린다.[1]:207, §VI.6 만약 일 경우, 2차 핵작용소는 힐베르트-슈미트 작용소라고 불린다.[1]:210, §VI.6
와 사이의 차 핵작용소들의 -벡터 공간을
로 표기하자. 이는 유계 작용소 공간 의 부분 공간이므로, 따라서 -노름 공간을 이룬다.
바나흐 공간의 경우
핵작용소의 정의는 의 경우 바나흐 공간으로 일반화될 수 있다.[2][3] 그러나 일 경우 이는 그렇지 않다.[4][5]
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연산
요약
관점
대각합
임의의 -힐베르트 공간 에 대하여, 위에 다음과 같은 함수를 정의할 수 있으며, 이를 대각합이라고 한다.
이는 사용되는 정규 직교 벡터열 에 의존하지 않음을 보일 수 있다.
이는 위의 -선형 변환을 이룬다.
샤텐 노름
마찬가지로, 위에 다음과 같은 샤텐 -노름(영어: Schatten -norm)을 정의할 수 있다.
(는 에르미트 수반이다. 거듭제곱을 취하는 것은 가 자기 수반 작용소이기 때문에 가능하며, 그 결과는 항상 에 속한다.) (물론, 일 경우 샤텐 -노름은 사실 노름이 아니다.) 이는 위와 동치로 의 (대수적 중복수를 고려한) 특잇값 들이 주어졌을 때
로 정의될 수 있다.
힐베르트-슈미트 내적
특히, 인 경우, 는 힐베르트 공간을 이룬다. 구체적으로, 그 내적은 다음과 같다.
이 내적은 힐베르트-슈미트 내적(Hilbert-Schmidt內積, 영어: Hilbert–Schmidt inner product)이라고 한다.
이에 따라, 다음과 같은 -힐베르트 공간 사이의 동형(유니터리 변환)이 존재한다.
여기서 는 (대수적) -텐서곱의 완비화 (=힐베르트 텐서곱)를 뜻한다.
임의의 에 대하여, 위에도 힐베르트-슈미트 내적을 부여할 수 있으나, 이 경우 일반적으로 이 내적 공간은 힐베르트 공간을 이루지 못하며, 내적에 대한 완비화는 이다.
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성질
요약
관점
포함 관계
정의에 따라, 임의의 에 대하여 다음이 성립한다.
또한, 만약 와 가 무한 차원이라면 이 포함 관계는 일치하지 않는다. (만약 와 가 유한 차원이라면 물론 항상 이다.)
연산에 대한 닫힘
임의의 에 대하여, 는 -벡터 공간을 이룬다. 즉, 이들은 유한 합과 스칼라 곱에 대하여 닫혀 있다. 또한, 임의의 에 대하여, 그 에르미트 수반 역시 다음과 같은 핵작용소이다.
만약 일 경우, 임의의 에 대하여, 는 바나흐 대수 의 양쪽 아이디얼을 이룬다.[4]:232, §1
다음과 같은 곱셈 정리(-定理, 영어: multiplication theorem)가 성립한다. 임의의
에 대하여,
를 정의하면, 임의의 세 -힐베르트 공간 에 대하여 다음이 성립한다.[4]:232, §1
위상수학적 성질
힐베르트 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
고윳값과의 관계
다음이 주어졌다고 하자.
- -힐베르트 공간
- 대각합류 작용소
- 의 고윳값들이 (대수적 중복수를 포함하여) 라고 하자.
그렇다면, 리츠키 정리(Лидский定理, 영어: Lidskii’s theorem)에 따르면 다음이 성립한다.
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예
요약
관점
힐베르트-슈미트 작용소의 대표적인 예는 힐베르트-슈미트 적분 작용소(영어: Hilbert–Schmidt integral operator)이다.
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에 대응하는 힐베르트-슈미트 적분 작용소는 다음과 같다.
이 경우, 그 힐베르트-슈미트 노름은 의 L2 노름과 같다.
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역사
힐베르트-슈미트 적분 작용소는 다비트 힐베르트[6][7][8][9]와 에르하르트 슈미트[10][11][12] 가 1900년대에 연구하였다. 이후 그 특성을 임의의 힐베르트 공간에 대하여 추상화하여 힐베르트-슈미트 작용소의 개념이 도입되었다.
힐베르트 공간에서, 임의의 에 대한 -핵작용소의 개념은 로베르트 샤텐(폴란드어: Robert Schatten, 1911~1977)과 존 폰 노이만이 1948년에 도입하였다.[13]:580
리츠키 정리는 우크라이나 태생의 수학자 빅토르 보리소비치 리츠키(러시아어: Ви́ктор Бори́сович Ли́дский, 우크라이나어: Ві́ктор Бори́сович Лі́дський 빅토르 보리소비치 리지키[*], 1924~2008)가 증명하였다.
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각주
외부 링크
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