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크라메르 법칙

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선형대수학에서 크래머 법칙(Cramer法則, 영어: Cramer's rule) 또는 크래머 공식은 유일한 해를 가지며 변수와 방정식의 수가 같은 연립 일차 방정식의 해를 구하는 공식이다. 계수 행렬과 그 한 열을 상수항으로 대신하여 얻는 행렬들의 행렬식의 비를 통해 해를 나타낸다. 둘 또는 셋 이상의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식의 경우, 크래머 법칙에 의한 알고리즘은 가우스 소거법에 의한 알고리즘보다 훨씬 비효율적이다.

정의

요약
관점

연립 일차 방정식

에서, 정사각 행렬이며, 행렬식이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 그 유일한 해는 다음과 같이 나타낼 수 있으며, 이를 크라메르 법칙이라고 한다.

여기서 번째 열을 로 대신하여 얻는 행렬이다.

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증명

요약
관점

연립 일차 방정식

의 계수 행렬 -여인자라고 하자. 그렇다면, 라플라스 전개에 따라 다음이 성립한다.

이에 따라, 각 번째 방정식에 을 곱한 뒤 모두 합하면

를 얻는다. 이므로, 양변을 로 나누면

를 얻는다.

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요약
관점

2개의 방정식의 경우

연립 일차 방정식

이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

3개의 방정식의 경우

연립 일차 방정식

이 유일한 해를 갖는다면, 그 해는 다음과 같다.

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응용

요약
관점

미분기하학

크라메르 법칙은 미분기하학에서 매우 유용하다. 두 개의 방정식 , 이라 가정한다. 여기서, u와 v는 독립 변수이고, , 라 정의한다.

여기서 의 방정식을 찾는 것은 크라메르 법칙으로 해결할 수 있다.

먼저, F,G,x,y의 미분을 계산한다.

dF, dG에 dx와 dy를 대입하면

u와 v는 독립적이므로, du와 dv의 계수는 0이다. 따라서 계수에 대한 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

따라서, 크라메르 법칙을 적용하면 다음과 같다.

이것은 두 개의 야코비안 항이다.

유사하게 , , 의 공식들도 유도할 수 있다.

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역사

스위스 수학자 가브리엘 크라메르(Gabriel Cramer, 1704년 - 1752년)에게서 유래한다.

같이 보기

외부 링크

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