크로네커 보조정리

수학에서 크로네커 보조정리(영어: Kronecker’s lemma)는 큰 수의 법칙의 증명에 사용되는 보조정리다. 이에 따르면, 수렴급수의 항이 0으로 수렴하는 속도는 충분히 빠르다. 증명은 아벨 변환과 슈톨츠-체사로 정리를 사용한다.

정의

크로네커 보조정리에 따르면, 임의의 두 실수 수열 ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {R} }$, ${\displaystyle (b_{n})_{n=0}^{\infty }\subset \mathbb {R} }$에 대하여, 만약 급수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

가 수렴하며,

${\displaystyle b_{0}\leq b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty }$

라면,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}^{-1}\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}=0}$

이다.^{[1]:255, Lemma 8.4.2[2]:85, Theorem 2.5.9}

증명:

${\displaystyle A_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\qquad (n\in \mathbb {N} )}$

${\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

이라고 하자. 아벨 변환과 슈톨츠-체사로 정리에 의하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }b_{n}^{-1}\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{i}&=\lim _{n\to \infty }b_{n}^{-1}\left(A_{n}b_{n}-\sum _{i=0}^{n-1}A_{i}(b_{i+1}-b_{i})\right)\\&=\lim _{n\to \infty }\left(A_{n}-b_{n}^{-1}\sum _{i=0}^{n-1}A_{i}(b_{i+1}-b_{i})\right)\\&=\lim _{n\to \infty }(A_{n}-(b_{n}-b_{n-1})^{-1}A_{n-1}(b_{n}-b_{n-1}))\\&=\lim _{n\to \infty }(A_{n}-A_{n-1})\\&=A-A\\&=0\end{aligned}}}$