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크룰 높이 정리
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가환대수학에서 크룰 높이 정리(영어: Krull’s height theorem)는 뇌터 환에서 n개의 원소로 생성된 아이디얼의 높이가 n 이하라는 정리이다.
정의
요약
관점
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 은 개의 소행렬식(영어: minor)들을 갖는다. 크룰 높이 정리에 따르면, 이 소행렬식들로 생성되는 -아이디얼이 전체가 아니라면, 그 높이는 이하이다.
특히, 인 경우, 개의 원소로 생성되는 아이디얼 의 높이는 이하이다.
반대로, 높이가 인 소 아이디얼은 개의 원소로 생성될 수 있다.
특히, 크룰 높이 정리에서 을 취하면, 가역원이 아닌 원소로 생성되는 주 아이디얼의 높이는 1 이하임을 알 수 있다.
크룰 정역의 경우
크룰 높이 정리는 크룰 정역에 대하여 부분적으로 성립한다. 구체적으로, 크룰 정역의 모든 진 아이디얼인 주 아이디얼의 높이는 0 또는 1이다. (그러나 뇌터 환이 아닌 크룰 정역의 경우, 이는 2개 이상의 원소로 생성되는 아이디얼에 대하여 성립하지 않을 수 있다.)[1]
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역사
볼프강 크룰이 1928년에 인 경우를 증명하였다.[2]
1961년에 존 얼론조 이건(영어: John Alonzo Eagon)이 이를 소행렬식에 대하여 일반화하였다.[3]
참고 문헌
외부 링크
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