크룰 정역

가환대수학에서 크룰 정역(Krull整域, 영어: Krull domain) 또는 크룰 환(Krull環, 영어: Krull ring)은 아이디얼의 인수 분해 이론이 비교적 단순한 정역이다. 데데킨트 정역의 고차원 일반화이다.

정의

임의의 정역 ${\displaystyle R}$이 주어졌으며, ${\displaystyle P}$가 그 높이 1의 소 아이디얼들의 집합이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

• 만약 ${\displaystyle R}$가 정규환이라면, ${\displaystyle \textstyle R\subseteq \bigcap _{{\mathfrak {p}}\in P}R_{\mathfrak {p}}\subseteq \operatorname {Frac} R}$이며, 만약 ${\displaystyle R}$가 뇌터 환이라면 ${\displaystyle \textstyle R=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in P}R_{\mathfrak {p}}}$이다.
• 만약 ${\displaystyle R}$가 뇌터 환이라면, 임의의 ${\displaystyle r\in R\setminus \{0\}}$에 대하여 ${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}\in P\colon r\in {\mathfrak {p}}\}}$는 유한 집합이다.
• 만약 ${\displaystyle R}$가 정규 뇌터 환이라면, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$에 대한 국소화 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$는 이산 값매김환이다. (이는 1차원 뇌터 정수적으로 닫힌 정역이 이산 값매김환 조건과 동치이기 때문이다.)

그러나 위 세 성질은 임의의 정역에 대하여 성립하지 않는다.

크룰 정역은 위 세 성질들을 만족시키는 정역이다. 즉, 정역 ${\displaystyle R}$가 다음 세 조건들을 모두 만족시키면 크룰 정역이라고 한다.

• ${\displaystyle R}$의 높이 1의 소 아이디얼들의 집합을 ${\displaystyle P}$라고 하자. 임의의 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$에 대하여, 국소화 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$는 이산 값매김환이다.
• 국소화는 분수체의 부분환 ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\subseteq \operatorname {Frac} R}$으로 생각할 수 있다. 그렇다면 ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{{\mathfrak {p}}\in P}R_{\mathfrak {p}}=R\subseteq \operatorname {Frac} R}$이다.
• 임의의 ${\displaystyle r\in R}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle r\neq 0}$이라면 ${\displaystyle \{{\mathfrak {p}}\in P\colon r\in {\mathfrak {p}}\}}$는 유한 집합이다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊃ 정역 ⊃ 정수적으로 닫힌 정역 ⊃	크룰 정역	⊃	데데킨트 정역
	∪		∪
	유일 인수 분해 정역	⊃	주 아이디얼 정역	⊃ 유클리드 정역 ⊃ 체

크룰 정역 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 유일 인수 분해 정역이다.
• 높이가 1인 모든 소 아이디얼이 주 아이디얼이다.

뇌터 국소환 ${\displaystyle R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\displaystyle R}$는 크룰 환이다.
• ${\displaystyle R}$의 (유일한 극대 아이디얼 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$에 대한) 완비화는 크룰 환이다.

정역 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 데데킨트 정역이다.
• 크룰 차원이 0 또는 1인 크룰 정역이다.

뇌터 정역 ${\displaystyle R}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 크룰 정역이다.
• 정수적으로 닫힌 정역이다.

만약 ${\displaystyle R}$가 크룰 정역이라면, 다음 두 가환환 역시 크룰 정역이다.

• 다항식환 ${\displaystyle R[x]}$
• 형식적 멱급수환 ${\displaystyle R[[x]]}$

모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, 영어: Mori–Nagata theorem)에 따르면, ${\displaystyle R}$가 뇌터 정역이며, ${\displaystyle L}$이 분수체 ${\displaystyle \operatorname {Frac} R}$ 위의 유한 대수적 확대라고 하자. 그렇다면, ${\displaystyle R}$의 ${\displaystyle L}$ 속의 정수적 폐포는 크룰 정역이다. 이 정리는 모리 요시로(일본어: 森 誉四郎)^[1]와 나가타 마사요시^[2] 가 증명하였다.

크룰 정역의 인자 이론

크룰 정역(의 스펙트럼) 위에서는 대수다양체와 마찬가지로 인자 이론을 정의할 수 있다.

크룰 정역 ${\displaystyle R}$ 위의 베유 인자는 높이가 1인 소 아이디얼들의 형식적 선형 결합이다. 이들이 이루는 자유 아벨 군을 ${\displaystyle D(R)}$라고 하자. 영 아이디얼이 아닌 주 아이디얼인 소 아이디얼 ${\displaystyle (r)}$은 주인자(영어: principal divisor)라고 하며, 이들은 아벨 군 ${\displaystyle P(R)\subseteq D(R)}$를 이룬다. 크룰 정역 ${\displaystyle R}$ 위의 카르티에 인자는 국소 주 베유 인자(영어: locally principal Weil divisor)이다. 카르티에 인자들 역시 아벨 군 ${\displaystyle C(R)}$를 이룬다. 이에 따라 아벨 군의 포함 관계

${\displaystyle P(R)\subseteq C(R)\subseteq D(R)}$

가 존재한다.

인자군의 주인자군에 대한 몫군

${\displaystyle D(R)/P(R)}$

를 ${\displaystyle R}$의 인자 유군이라고 한다. 카르티에 인자군의 주인자군에 대한 몫군

${\displaystyle C(R)/P(R)\subseteq D(R)/P(R)}$

를 ${\displaystyle R}$의 피카르 군이라고 한다. 이는 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ 위의 가역층들의 텐서곱에 대한 아벨 군과 동형이다.

예

유일 인수 분해 정역 ${\displaystyle R}$ 위의, 가산 무한 개의 변수의 다항식환 ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ]}$는 크룰 정역이지만, 뇌터 환이 아니다.

역사

볼프강 크룰이 1931년에 도입하였다.^[3]