클라인-니시나 공식

입자물리학에서 클라인-니시나 공식(Klein–Nishina formula)은 양자 전기역학의 최저 차수에서 계산된, 단일 자유 전자로부터 산란된 광자의 미분 단면적(즉, "가능성" 및 각 분포)을 제공한다. 이 공식은 1928년 오스카르 클레인과 니시나 요시오에 의해 처음 유도되었으며, 디랙 방정식의 최초 성공적인 적용 중 하나를 구성한다.^[1] 이 공식은 저에너지 광자(예: 가시광선)의 톰슨 산란과 고에너지 광자(예: 엑스선 및 감마선)의 콤프턴 산란을 모두 설명하며, 총 단면적과 예상 편향각이 광자 에너지 증가에 따라 감소함을 보여준다.

자주 접하는 에너지 범위에 대한 산란각 단면적의 클라인-니시나 분포.

양자장론에서는 이 공식이 클라인-니시나-탐 공식으로 알려져 있으며,^[2] 이고리 탐의 이름이 추가되었다. 그는 장의 양자화를 통해 이 공식을 유도했다.

공식

입사하는 비편광 광자의 에너지 ${\displaystyle E_{\gamma }}$에 대한 미분 단면적은 다음과 같다.^[3]

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-\sin ^{2}(\theta )\right]}$

여기서

• ${\displaystyle r_{e}}$는 고전전자반지름 (~2.82 펨토미터, ${\displaystyle r_{e}^{2}}$는 약 7.94 × 10⁻³⁰ m² 또는 79.4 mb)
• ${\displaystyle \lambda /\lambda '}$는 입사 및 산란 광자의 파장 비율
• ${\displaystyle \theta }$는 산란각 (편향되지 않은 광자의 경우 0).

각도에 의존하는 광자 파장 (또는 에너지, 또는 주파수) 비율은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda '}}={\frac {E_{\gamma '}}{E_{\gamma }}}={\frac {\omega '}{\omega }}={\frac {1}{1+\epsilon (1-\cos \theta )}}}$

이는 상대론적 에너지 및 운동량 보존(콤프턴 산란 참조)에 의해 요구된다. 무차원량 ${\displaystyle \epsilon =E_{\gamma }/m_{e}c^{2}}$는 전자의 정지 에너지(~511 전자볼트)로 입사 광자의 에너지를 나타내며, ${\displaystyle \epsilon =\lambda _{c}/\lambda }$로도 표현될 수 있는데, 여기서 ${\displaystyle \lambda _{c}=h/m_{e}c}$는 전자의 콤프턴 파장 (~2.42 pm)이다. 산란 비율 ${\displaystyle \lambda '/\lambda }$는 편향각에 따라 ${\displaystyle 1}$(전방 산란, 에너지 전달 없음)에서 ${\displaystyle 1+2\epsilon }$(180도 후방 산란, 최대 에너지 전달)까지 단조 증가한다.

일부 경우에는 고전전자반지름을 콤프턴 파장으로 표현하는 것이 편리하다: ${\displaystyle r_{e}=\alpha {\bar {\lambda }}_{c}=\alpha \lambda _{c}/2\pi }$, 여기서 ${\displaystyle \alpha }$는 미세구조 상수 (~1/137)이고 ${\displaystyle {\bar {\lambda }}_{c}=\hbar /m_{e}c}$는 전자의 환산 콤프턴 파장 (~0.386 pm)이므로, 단면적의 상수는 다음과 같이 주어진다:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{c}^{2}={\frac {\alpha ^{2}\lambda _{c}^{2}}{8\pi ^{2}}}={\frac {\alpha ^{2}\hbar ^{2}}{2m_{e}^{2}c^{2}}}}$

편광된 광자

입사하는 광자가 편광되어 있으면 산란된 광자는 방위각에 대해 더 이상 등방성이 아니다. 정지 상태의 자유 전자에 의해 산란된 선형 편광 광자의 경우 미분 단면적은 대신 다음으로 주어진다.

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left({\frac {\lambda }{\lambda '}}\right)^{2}\left[{\frac {\lambda }{\lambda '}}+{\frac {\lambda '}{\lambda }}-2\sin ^{2}(\theta )\cos ^{2}(\phi )\right]}$

여기서 ${\displaystyle \phi }$는 방위 산란각이다. 비편광 미분 단면적은 ${\displaystyle \cos ^{2}(\phi )}$에 대해 평균을 취하여 얻을 수 있음에 유의하라.

한계

저에너지

저에너지 광자의 경우 파장 변화는 무시할 수 있으며 (${\displaystyle \lambda /\lambda '\approx 1}$), 클라인-니시나 공식은 고전적인 톰슨 표현으로 축소된다.

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}\left(1+\cos ^{2}(\theta )\right)\qquad (\epsilon \ll 1)}$

이는 산란각에 대해 대칭적이며, 즉 광자는 전방과 후방으로 산란될 가능성이 동일하다. 에너지가 증가하면 이 대칭성은 깨지고 광자는 전방 방향으로 산란될 가능성이 더 높아진다.

고에너지

고에너지 광자의 경우 작은 각도 산란과 큰 각도 산란을 구별하는 것이 유용하다. ${\displaystyle \epsilon (1-\cos \theta )\gg 1}$인 큰 각도의 경우, 산란 비율 ${\displaystyle \lambda '/\lambda }$이 크고

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}{\frac {\lambda }{\lambda '}}\approx {\frac {1}{2}}r_{e}^{2}{\frac {1}{1+\epsilon (1-\cos \theta )}}\qquad (\epsilon \gg 1,\theta \gg \epsilon ^{-1/2})}$

이는 (큰 각도) 미분 단면적이 광자 에너지에 반비례함을 보여준다.

미분 단면적은 전방 방향에서 일정한 최고값을 가진다.

${\displaystyle \left({\frac {d\sigma }{d\Omega }}\right)_{\theta =0}=r_{e}^{2}}$

이는 ${\displaystyle \epsilon }$에 독립적이다. 큰 각도 분석에서 이 최고값은 약 ${\displaystyle \theta _{c}\approx \epsilon ^{-1/2}}$까지만 확장될 수 있음을 알 수 있다. 따라서 전방 최고값은 약 ${\displaystyle \pi \theta _{c}^{2}}$의 작은 입체각에 한정되며, 총 작은 각도 단면적은 ${\displaystyle \epsilon ^{-1}}$에 따라 감소한다고 결론 내릴 수 있다.

총 단면적

미분 단면적을 적분하여 총 단면적을 구할 수 있다.

${\displaystyle \sigma =2\pi r_{e}^{2}{\Biggl [}{\frac {1+\epsilon }{\epsilon ^{3}}}{\Biggl (}{\frac {2\epsilon (1+\epsilon )}{1+2\epsilon }}-\ln {(1+2\epsilon )}{\Biggr )}+{\frac {\ln {(1+2\epsilon )}}{2\epsilon }}-{\frac {1+3\epsilon }{(1+2\epsilon )^{2}}}{\Biggr ]}}$

저에너지 한계에서는 에너지 의존성이 없으며, 우리는 톰슨 단면적 (~66.5 fm²)을 회복한다.

${\displaystyle \sigma \approx {\frac {8}{3}}\pi r_{e}^{2}\qquad (E_{\gamma }\ll m_{e}c^{2})}$

역사

클라인-니시나 공식은 1928년 오스카르 클레인과 니시나 요시오에 의해 유도되었으며, 양자 전기역학 연구에서 얻어진 최초의 결과 중 하나였다. 상대론적 및 양자 역학적 효과를 고려함으로써 표적 전자로부터의 복사 산란에 대한 정확한 방정식을 개발할 수 있었다. 이 유도 이전에 전자의 단면적은 영국의 물리학자이자 전자의 발견자인 J.J. 톰슨에 의해 고전적으로 유도되었다. 그러나 산란 실험은 톰슨 단면적에 의해 예측된 결과와 상당한 편차를 보였다. 추가 산란 실험은 클라인-니시나 공식의 예측과 완벽하게 일치했다.

1930년, 이바르 발레르와 이고리 탐은 콤프턴 산란의 장 양자화에 대한 연구를 독립적으로 발표하고 클라인-니시나 공식을 재현했다.^[4]

같이 보기

• 싱크로트론 방사
• 니시나 요시오
• 오스카르 클레인