탁구 정리

군론에서, 탁구 정리(卓球定理, 영어: ping-pong lemma)는 어떤 부분군들의 합집합으로 생성되는 부분군이 각 성분들의 자유곱임을 보이는 정리이다.

탁구 정리의 이름은 탁구에서 공이 번갈아 움직이는 것에 빗댄 것이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 군 ${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle G}$의, 집합 ${\displaystyle X}$ 위의 왼쪽 작용
• ${\displaystyle G}$의 두 부분군 ${\displaystyle H,H'\leq G}$
• ${\displaystyle X}$의 두 부분 집합 ${\displaystyle Y,Y'\subseteq X}$

또한, 다음이 성립한다고 하자.

• ${\displaystyle |H|\geq 3}$
• ${\displaystyle Y\neq \varnothing \neq Y'}$
• ${\displaystyle Y\not \subseteq Y'}$
• ${\displaystyle h'\cdot Y\subseteq Y'\qquad \forall h'\in H'\setminus \{1\}}$
• ${\displaystyle h\cdot Y'\subseteq Y\qquad \forall h\in H\setminus \{1\}}$

탁구 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \langle H\cup H'\rangle =H*H'}$

여기서 좌변은 ${\displaystyle G}$의 부분 집합으로 생성되는 부분군이며, 우변은 군들의 자유곱이다.

증명:

임의의

${\displaystyle a_{0},a_{2},\dotsc \in H\setminus \{1\}}$

${\displaystyle b_{1},b_{3},\dotsc \in H\setminus \{1\}}$

${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$

에 대하여,

• ㈎ ${\displaystyle a_{0}b_{1}a_{2}\dotsm a_{n+1}\neq 1}$
• ㈏ ${\displaystyle b_{1}a_{2}b_{3}\dotsm b_{n}\neq 1}$
• ㈐ ${\displaystyle a_{0}b_{1}a_{2}\dotsm b_{n}\neq 1}$
• ㈑ ${\displaystyle b_{1}a_{2}b_{3}\dotsm a_{n+1}\neq 1}$

임을 보이면 족하다.

우선, ㈎의 경우는

${\displaystyle a_{0}b_{1}\dotsm a_{n}\cdot Y'\subseteq a_{0}b_{1}\dotsm b_{n}\cdot Y'\subseteq \dotsb \subseteq a_{0}Y'\subseteq Y}$

인데, ${\displaystyle Y'\not \subseteq Y}$이므로 ${\displaystyle a_{0}b_{0}\dotsm b_{n}a_{n}\neq 1}$이다.

㈏의 경우, 임의의 ${\displaystyle a_{0}=a_{n+1}^{-1}\in H\setminus \{1\}}$를 고르면, ㈎에 의하여 ${\displaystyle a_{0}(b_{1}\dotsm b_{n-1})a_{0}^{-1}\neq 1}$이므로 ${\displaystyle b_{1}\dotsm b_{n-1}\neq 1}$이다.

㈐의 경우, 임의의 ${\displaystyle a_{n+1}\in H\setminus \{1,a_{0}\}}$를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 ${\displaystyle a_{n+1}^{-1}(a_{0}b_{0}\dotsm b_{n})a_{n+1}\neq 1}$이므로, ${\displaystyle a_{0}b_{0}\dotsm b_{n-1}\neq 1}$이다.

㈑의 경우, 임의의 ${\displaystyle a_{0}\in H\setminus \{1,a_{n+1}\}}$를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 ${\displaystyle a_{0}(b_{1}a_{2}\dotsm b_{n}a_{n+1})a_{0}^{-1}\neq 1}$이므로, ${\displaystyle b_{1}a_{2}\dotsm b_{n}a_{n+1}\neq 1}$이다.

역사

이 정리의 이름은 증명 과정에서 ${\displaystyle H}$와 ${\displaystyle H'}$의 번갈아 가는 군의 작용을 탁구에서 탁구공을 양 선수가 번갈아서 치는 것에 빗댄 것이다.

탁구 정리는 펠릭스 클라인이 19세기 말에 클라인 부분군을 연구하기 위하여 최초로 사용하였다. 이후 자크 티츠 등이 이 정리의 기법을 다시 사용하였다.

예

${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )}$에서,

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}}$

로 생성되는 부분군을 생각하자. ${\displaystyle A}$와 ${\displaystyle B}$는 각각 무한 차수의 원소이다. (즉, ${\displaystyle A^{n}=1}$이 되는 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$는 ${\displaystyle n=0}$ 밖에 없으며, ${\displaystyle B}$의 경우도 마찬가지이다.) 사실,

${\displaystyle A^{n}={\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle B^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}}$

이다. 이제, ${\displaystyle \operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )}$는 ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {Z} ^{\oplus 2}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} ^{2}}$ 위에 선형 변환으로 작용한다.

${\displaystyle Y=\{(x,y)\in X\colon |x|>|y|\}}$

${\displaystyle Y'=\{(x,y)\in X\colon |x|<|y|\}}$

로 잡으면,

${\displaystyle A^{n}Y'\subseteq Y}$

${\displaystyle B^{n}Y\subseteq Y'}$

임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 탁구 정리에 의하여 ${\displaystyle \langle A,B\rangle }$은 2개의 원소로 생성되는 자유군이다.

같이 보기

• 자유군
• 자유곱
• 클라인 부분군

외부 링크

• Cook, Mary (2016년 4월 29일). “The ping-pong lemma” (PDF) (영어).
• “Ping-pong lemma”. 《Groupprops》 (영어).