탈레스 정리 (지름)

기하학에서, 탈레스 정리(-定理, 영어: Thales' theorem)는 원의 지름의 원주각은 직각이라는 정리이다. 이는 원주각의 크기가 중심각의 크기의 1/2이라는 사실의 특수한 경우이다.

탈레스 정리: 만약 AC이 원의 지름이고, B가 원주 상의 점이라면, 각 ∠ ABC은 직각이다.

정의

선분 ${\displaystyle AB}$를 지름으로 하는 원 위에 ${\displaystyle A}$나 ${\displaystyle B}$가 아닌 점 ${\displaystyle C}$가 주어졌다고 하자. 탈레스 정리에 따르면,

${\displaystyle \angle ACB=90^{\circ }}$

이다.^{[1]:263, §22.2, Theorem 22.17}

즉, 삼각형 ${\displaystyle ABC}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[2]:30, §1F, Corollary 1.22}

• 꼭짓점 ${\displaystyle C}$에서의 내각은 직각이다.
• 대변 ${\displaystyle AB}$는 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 외접원의 지름이다.

증명

원의 중심을 ${\displaystyle O}$라고 하자. 그렇다면 반지름의 길이는 일정하므로

${\displaystyle OA=OB=OC}$

이다. 삼각형에서 길이가 같은 변이 마주보는 내각의 크기는 같으므로 ${\displaystyle \angle OAC=\angle OCA}$와 ${\displaystyle \angle OBC=\angle OCB}$가 성립한다. 삼각형 ${\displaystyle ABC}$의 내각의 합은 ${\displaystyle 180^{\circ }}$이므로

${\displaystyle 180^{\circ }=\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=2\angle ACB}$

이다. 즉, ${\displaystyle \angle ACB=90^{\circ }}$가 성립한다.

쌍곡 탈레스 정리

쌍곡 평면 위에서, 선분 ${\displaystyle AB}$를 지름으로 하는 원 위에 ${\displaystyle A}$나 ${\displaystyle B}$가 아닌 점 ${\displaystyle C}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle \angle ACB<90^{\circ }}$

이다.^{[1]:263, §22.2, Theorem 22.17}

절대 탈레스 정리

절대 평면 위에서, 선분 ${\displaystyle AB}$를 지름으로 하는 원 위에 ${\displaystyle A}$나 ${\displaystyle B}$가 아닌 점 ${\displaystyle C}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle \angle ACB\leq 90^{\circ }}$

이다.^{[1]:263, §22.2, Theorem 22.17}

역사

고대 그리스의 수학자 탈레스의 이름을 땄다.