테트레이션

수학에서 테트레이션(영어: tetration, hyper-4)은 거듭제곱의 다음 차례에 오는 하이퍼 연산으로, 거듭제곱의 반복으로 정의된다. 이 단어는 루벤 루이스 굿스타인이 4를 뜻하는 tetra-와 반복함수를 의미하는 iteration을 합성한 것이다. 테트레이션은 보통 큰 수를 표기하는 데 이용한다. 표기법 ${\displaystyle {^{n}a}}$은 ${\displaystyle {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}$에서 거듭제곱이 ${\displaystyle n-1}$번 적용된 것을 의미한다.

정칙 테트레이션 ${\displaystyle {}^{z}e}$의 복소수 그래프, 색상은 함수의 편각을 나타내고, 명도는 크기를 나타낸다.

n = 1, 2, 3 ...일 때 ${\displaystyle {}^{n}x}$가 두 점 사이에서 무한히 반복되는 지수가 수렴하는 것과 수렴선을 나타내고 있다.

무한으로 발산하는 ${\displaystyle \textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x}$가 ${\displaystyle \textstyle (e^{-1})^{e}\leq x\leq e^{e^{-1}})}$를 기준으로 수렴하는 모습.

여기에 나타낸 것은 처음 네 하이퍼연산을 나타낸 것으로, 테트레이션이 네 번째이다(그리고 증분, 증분은 ${\displaystyle a'=a+1}$로 정의된 단항 연산으로 ${\displaystyle a}$를 넣으면 ${\displaystyle a}$의 다음 수를 얻는 연산이 0번째다):

1. 덧셈

   ${\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}}$

   n번 a에 1이 더해졌다.

2. 곱셈

   ${\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}$

   n번 a가 덧셈으로 결합했다.

3. 거듭제곱

   ${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$

   n번 a가 곱셈으로 결합했다.

4. 테트레이션

   ${\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}$

   n번 a가 오른쪽에서 왼쪽으로 결합했다.

위의 예시들은 "a의 n번째 테트레이션"(the nth tetration of a)이라고 읽는다. 각 연산은 이전의 연산을 반복하는 것으로 정의한다(이 수열의 다음 연산은 펜테이션이다). 테트레이션은 초등함수가 아니다.

같이 보기

• 아커만 함수
• 이중 지수 함수
• 하이퍼 연산
• 반복 로그
• 대칭 레벨-인덱스 연산
• 펜테이션

참고 문헌

• Daniel Geisler, tetration.org
• Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (undated, 2006 or earlier) (A simpler, easier to read review of the next reference)
• Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (undated, 2006 or earlier).
• Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals (An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)
• Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two, (2004). (Attempt to extend tetration to real numbers.)
• Ioannis Galidakis, Mathematics, (Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)
• Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower
• Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function 보관됨 2010-01-17 - 웨이백 머신.
• Dave L. Renfro, Web pages for infinitely iterated exponentials (Compilation of entries from questions about tetration on sci.math.)
• R. Knobel. "Exponentials Reiterated." American Mathematical Monthly 88, (1981), p. 235–252.
• Hans Maurer. "Über die Funktion ${\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}$ für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33–50. (Reference to usage of ${\displaystyle \ {^{n}a}}$ from Knobel's paper.)

외부 링크

• Daniel Geisler's site on tetration
• Tetration Forum
• Tetration - TORI - Mizugadro, the research site by Dmitrii Kouznetsov
• Gottfried Helms' site on tetration