하이퍼 연산

수학에서 하이퍼 연산 수열(Hyperoperation sequence)은 하이퍼 연산이라 불리는 덧셈, 곱셈, 거듭제곱으로 시작하는 이항연산 수열이다. 이 수열의 n번째 하이퍼 연산은 n의 그리스어 접두사에 접미사 -ation을 붙인 단어로 불리며, 커누스 윗화살표 표기법에서 (n-2)개의 화살표로 표기할 수 있다.

정의

 이 부분의 본문은 커누스 윗화살표 표기법입니다.

하이퍼 연산 수열은 덧셈 (n = 1), 곱셈 (n = 2), 거듭제곱 (n = 3)으로 시작하는, ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$으로 첨수(添數)된 이항연산 수열이다. 하이퍼 연산 수열의 매개변수는 거듭제곱과 유사한 용어를 쓴다; 따라서 a는 밑, b는 지수 (또는 하이퍼 지수), n은 계수 (또는 등급)이다..

커누스 윗화살표 표기법을 이용하면, 우리는 하이퍼 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b={\begin{cases}b+1&{\text{if }}n=0\\a&{\text{if }}n=1,b=0\\0&{\text{if }}n=2,b=0\\1&{\text{if }}n\geq 3,b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

(otherwise는 위에 주어진 조건들이 성립하지 않을 때를 뜻한다.)

이는 덧셈, 곱셈, 거듭제곱 다음에 무엇인지에 대한 답으로 해석할 수 있다. 참고로

• ${\displaystyle a+b=1+(a+(b-1))}$
• ${\displaystyle a\times b=a+(a\times (b-1))}$
• ${\displaystyle a^{b}=a\times (a^{(b-1)})}$

는 하이퍼 연산자들의 관계를 나타내며, 더 높은 연산자들을 정의할 수 있다. 높은 연산자에는 작은 수를 대입해도 매우 큰 숫자가 나온다. 더 자세한 내용을 보려면 테트레이션 문서를 보라.

일반적으로, 하이퍼 연산자들은 이전 하이퍼 연산자의 반복을 거듭하는 것을 뜻한다. 덧셈, 곱셈, 거듭제곱의 개념은 모두 하이퍼 연산이다; 덧셈 연산은 1을 거듭 더하는 것이고, 곱셈은 한 숫자를 거듭 더하는 것이며, 거듭제곱은 한 숫자를 거듭 곱하는 것이다.

예시

다음은 처음 여섯 개의 하이퍼 연산자이다.

n	연산	정의	이름	영역
0	${\displaystyle b+1}$	${\displaystyle {1+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} _{b}}}}$	hyper0, 증분(增分), 다음수	임의의 b
1	${\displaystyle a+b}$	${\displaystyle {a+{\underbrace {1+1+1+\cdots +1} _{b}}}}$	hyper1, 덧셈	임의의 a,b
2	${\displaystyle ab}$	${\displaystyle {{\underbrace {a+a+a+\cdots +a} } \atop {b}}}$	hyper2, 곱셈	임의의 a,b
3	${\displaystyle a\uparrow b=a^{b}}$	${\displaystyle {{\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} } \atop {b}}}$	hyper3, 거듭제곱	a > 0, b 실수, 또는 a가 0이 아닌 실수, b가 정수
4	${\displaystyle a\uparrow \uparrow b={}^{b}a}$	${\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} } \atop {b}}}$	hyper4, 테트레이션	a > 0, 정수 b ≥ −1
5	${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=a\uparrow ^{3}b}$	${\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow \uparrow a\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow a} } \atop {b}}}$	hyper5, 펜테이션	a와 b는 정수, a > 0, b ≥ 0
6	${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=a\uparrow ^{4}b}$	${\displaystyle {{\underbrace {a\uparrow ^{3}a\uparrow ^{3}\cdots \uparrow ^{3}a} } \atop {b}}}$	hyper6, 헥세이션	a와 b는 정수, a > 0, b ≥ 0

하이퍼 연산의 역사

하이퍼 연산이 맨 처음으로 토론된 경우는 1914년 알베르트 베네트가 "가환 하이퍼 연산"에 대한 이론을 개발했을 때이다. 약 12년 후, 빌헬름 아커만이 하이퍼 연산 수열과 어느 정도 연관성이 있는 함수 ${\displaystyle \phi (a,b,n)}$^[1] 를 정의했다. 원래 아커만 함수는 같은 반복 규칙을 사용했지만, 현대 하이퍼 연산과 최소 2가지의 다른 점이 있다. 그리고 1947년, Reuben Goodstein^[2]은 하이퍼 연산을 현재 쓰이는 방법으로 정의하였다. 그는 ${\displaystyle G(n,a,b)}$와 같은 기호를 사용했는데, 이는 커누스 윗화살표 표기법에서는 ${\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b}$와 같다. 또한, Goodstein은 "테트레이션", "펜테이션", "헥세이션" 등 거듭제곱 이상의 연산에 명칭을 부여했다.

표기법

다음 목록은 하이퍼 연산을 표기하는 여러 가지 방법이다.

이름	표기법	비고
기본 화살표 표기법	${\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b=H_{n}(a,b)}$	커누스가 최초로 사용[3]
굿스틴의 표기법	${\displaystyle G(n,a,b)}$	굿스틴(Goodstein)이 최초로 사용[2]
초기 아커만 함수	${\displaystyle A(a,b,n-1)=H_{n}(a,b)}$	하이퍼 연산과는 약간 다르다.
현대 아커만 함수	${\displaystyle A(n,b-3)+3=H_{n}(2,b)}$	밑이 2일 때의 하이퍼 연산과 동일하다.
냄비어의 표기법	${\displaystyle a\otimes ^{n}b}$	냄비어(Nambiar)가 최초로 사용[4]
상자 표기법	${\displaystyle a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b}$	Rubtsov과 Romerio가 최초로 사용[5]
어깨글자 표기법	${\displaystyle a{}^{(n)}b}$	로버트 무나포(Robert Munafo)가 최초로 사용[6]
아래글자 표기법	${\displaystyle a{}_{(n)}b}$	작은 하이퍼 연산을 위해 무나포가 최초로 사용[6]
ASCII 표기법	a [n] b	많은 온라인 포럼에서 사용; 상자 표기법을 기본으로 함.

같이 보기

• 아커만 함수
• 커누스 윗화살표 표기법
• 콘웨이 화살표 사슬 표기법
• 테트레이션
• 큰 수